要把 9 本不同的课外书分别装到三个相同的手提袋里，一共有多少种不同的装法？

wufaxian

要把9本不同的课外书分别装到三个相同的手提袋里，一共有多少种不同的装法？

答案：隔板法\(C_{8 }^{3 }\)

看不懂这个答案，如果8代表9本书的内部间隙(不含两端的外侧)，2个隔板就可以隔出3个独立空间代表三个手袋，所以为什么要\(C_{8 }^{3 }\)，而不是\(C_{8 }^{2 }\)呢？三个隔板，代表四个手袋。

其次，隔板法也有问题，无论怎么隔第一本书和第九本书都不可能放进同一个手袋，但实际上，1和9在同一个口袋的可能性是存在的。

因此正确答案应该是\(3^{9}\)吧？即每本书都有3种选择。

luyuanhong

题 要把 9 本不同的课外书分别装到三个相同的手提袋里，一共有多少种不同的装法？

解 答案 C(8,3)=56 显然不对。

   答案 3^9=19683 也不对。如果题目是将 9 本不同的书放入 3 个不同的袋中，确实会

有 3^9 种放法。但本题中是“三个相同的手提袋”，所以不会有 3^9 种放法。

   其实，把 9 本不同的书放入 3 个相同的袋（每袋至少一本书），相当于将 9 个不同

的元素，分成 3 个无编号的非空子集。

   在数学中，将 n 个不同元素，分成 k 个非空子集的不同的分配方法种数，称为斯特林数

（Stirling Number)，记为 S(n,k) 。

   斯特林数 S(n,k) 的计算方法比较复杂（参见我下面的一个帖子）。

   当 n=9，k=3 时，可以求得 S(n,k)=S(9,3)=3025 。

   所以，把 9 本不同的书放入 3 个相同的袋（每袋至少一本书），共有 3025 种不同的放法。

   上面规定“每袋至少一本书”，所以 3 个袋子都不是空的，即 3 个子集都是非空子集。

   如果不规定“每袋至少一本书”，有些袋子可以是空的，那就不是 3 个非空子集了，有可能

是 2 个非空子集，或 1 个非空子集。

   把 9 个元素分成 2 个非空子集，有 S(9,2)=255 种分法。

   把 9 个元素分成 1 个非空子集，有 S(9,1)=1 种分法。

   这时的分配法总数为 S(9,3)+S(9,2)+S(9,1)=3025+255+1=3281 。

   所以，把 9 本不同的书放入 3 个相同的袋（有些袋可以是空的），共有 3281 种不同的放法。

luyuanhong

wufaxian

luyuanhong 发表于 2022-7-23 11:40

谢谢lu老师的讲解。

一楼帖子的问题出自人教版高中数学B版选修第二册  第三章排列组合。课后习题3-1c 第4题。但是这章并没有讲过斯特林数。
所以，这道题不用斯特林数（暨假设学生不知道斯特林数的知识，也不会证明斯特林数）的知识，只用高中排列组合的知识可以解出来么？

其次，斯特林数属于数学哪个分支的内容。这个知识在概率、统计这两门学科中应用广泛么？

luyuanhong

wufaxian 发表于 2022-7-24 01:55
谢谢lu老师的讲解。

一楼帖子的问题出自人教版高中数学B版选修第二册  第三章排列组合。课后习题3-1c  ...

斯特林数的内容，在中学数学课中，是没有的，即使在普通的大学数学课中，也是不会讲到的。

只有在很冷僻的专门讲《组合数学》的书中，才会有斯特林数的介绍。

一楼中题目的出题者，我估计是他误以为这样的题目，用中学里简单的排列组合就可以解答，所以

才会出这样的题目。如果他知道这题的解答，其实要用到斯特林数，那他是决不会出这样的题的。

理论上说，即使不知道斯特林数的概念，用排列组合的基本概念，也可以自己推导出计算公式：

           S(n,k) = ∑(i=0,k-1)(-1)^i C(k,i)(k-i)^n／k! 。

例如，当 n=9 ，k=3 时，就有

     S(9,3)=[3^9-C(3,1)2^9+C(3,2)1^9]／3! = (19683-3×512+3×1)／6 = 18150／6 = 3025 。

但实际上，要推导这样的公式，是非常麻烦的，所以一般数学书中都是不讲的，更不会叫学生自己做了。

wufaxian

luyuanhong 发表于 2022-7-24 11:40
斯特林数的内容，在中学数学课中，是没有的，即使在普通的大学数学课中，也是不会讲到的。

只有在很 ...

谢谢lu老师。没想到现在高中数学这么卷
请问这个斯特林数在大学概率、统计两门课中用途多么？

luyuanhong

wufaxian 发表于 2022-7-24 17:17
谢谢lu老师。没想到现在高中数学这么卷
请问这个斯特林数在大学概率、统计两门课中用途多么？

学习大学概率统计，完全不需要用到斯特林数这样的概念。

lihp2020

如果高中生 可以知道 有些东西 可以用递推来求 但是 找通项是很复杂的   
s（n+1，k）= ks(n,k）+s(n,k-1)
这样 在草稿纸上列一个表格 就画出来了
当然 还是前提  n k比较小的时候 能直接想出结果

wufaxian

lihp2020 发表于 2022-7-25 17:07
如果高中生 可以知道 有些东西 可以用递推来求 但是 找通项是很复杂的   
s（n+1，k）= ks(n,k）+s(n,k-1 ...

请问，你这里的s 也是斯特林数的意思么？

luyuanhong

wufaxian 发表于 2022-7-25 20:28
请问，你这里的s 也是斯特林数的意思么？

是的，这里的 S 就是斯特林数。

上面第 3 楼中我给出证明的定理 1 ，就是斯特林数递推关系 S(n+1,k)=S(n,k-1)+kS(n,k) 。