[趣题分享]求素数\(p\)使得\((p^4+2p^3+4p^2+2p+1)^5=418195493.\)

elim

题： 求素数\(p\)使得\((p^4+2p^3+4p^2+2p+1)^5=418195493.\)

elim

题： 求素数\(p\)使得\((p^4+2p^3+4p^2+2p+1)^5=418195493.\)
解：上式右边是奇数, 故\(p^4+1\equiv p^4+2p^3+4p^2+2p+1\equiv 1\pmod{2}\) 是奇数.
\(\therefore\quad p\) 是偶素数，即\(p=2.\)
\(\quad\)于是 \((p^4+2p^3+4p^2+2p+1)^5=53^5=418195493.\)

注记：素数这个要求其实是一个提示．与奇偶性分析一起简化了问题．

波斯猫猫

题：求正整数P，使得（p^4+2p^3+4p^2+2p+1）^5=418195493。

思路：∵40^5=102400000，50^5=312500000，60^5=877600000，

∴（p^4+2p^3+4p^2+2p+1）^5=418195493=53^5（个位数字必是3）。

即p^4+2p^3+4p^2+2p+1=53，或 p(p^3+2p^2+4p+2)=52。

故1＜p＜3。经检验：p=2。

luyuanhong

楼上 elim 的帖子和 波斯猫猫 的解答都很好！已收藏。

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