无环形链的H—构形一定能转化成有环形链的H—构形的证明

雷明85639720

无环形链的H—构形一定能转化成有环形链的H—构形的证明
雷  明
（二○二二年七月三十日)

再说一点有关无环形链的H一构形的着色问题：
1、在BAB型的H—构形中，既无A—B环形链，又无C—D环形链的构形，一定是在A—B环和C—D环上分别有一个缺口的构形。而环的缺口处正好是另一条相反色链通过的地方。若把这个经过缺口的顶点改着成其相反色链的颜色，构形就转化成了有环形链的构形了。就可以用断链法（Z—换色程序）进行处理了。构形也就直接转化成可约的K—构形了。这就是无环形链的构形一定可约的真正原因。这样以来，就不要再担心在使用转型法（张彧典先生叫做“颠倒法”或H—换色程序）时再出现无穷周期循环转型的情况了。因为的确除了埃雷拉E—图外，还有一些非E—图的构形是无穷周期循环转型的，如张彧典先生在《放大》一文中的几个有关E—图的放大图构形。
2、把一个有环形链的H—构形（无论是A—B环形链，还是C—D环形链），当在适当的地方去掉一个顶点的颜色，在环形链中就产生了一个缺口，然后再将这个缺口用另一条相反色链的颜色补上，这就把一个有环形链的H—构形转化成了一个无环形链的H—构形了。然后再按相反的方向和操作方法逆向进行过去，无环形链的H—构形就又转化成了有环形链的H—构形了。这就是有环形链的H—构形与无环形链的H—构形可以相互转化的原理。
3、但并不是所有的有环形链的H—构形都一定是可以转化成无环形链的H—构形的，如赫渥特的H—图的简化图就是一个有环形链的“九点形”H—构形，就是不可以转化成无环形链的H—构形的，因为其中的环形链C—D中，除了已有的四个顶点就是一个最小的二色环外，再也没有别的适合断链（打开缺口）的地方。但是无环形链的H—构却都是可以转化成有环形链的H—构形。原因是九点形构形除了赫渥特的H—图的简化图是H—构形外，其他的构形都是可以连续的移去两个同色的可约的K—构形，或者说都不是染色固局构形。
4、可能有人会问，你能保证除了赫渥特的H—图的简化图外，任何一个有环形链的H—构形一定都是可以转化成无环形链的H—构形吗？一定能把某一个合适的顶点的颜色都改成相反链的颜色吗？与环形链相邻的位于环形链两侧的另一条反链的两个顶点的颜色相同时，环形链可以改动某一个顶点的颜色，但若该两个顶点的颜色不同时，环形链的颜色还能改动吗？答曰：都可以。要知道，处在环环链内、外的任何一支相反色链都一定是直链，任何一侧的相反色链都是可以施行坎泊的颜色交换技术的，当进行了这一步后，以上所说的两个顶点的颜色不就是相同的了吗？把环形链中要改动颜色的那个顶点的颜色去掉，再换成相反色链中的另一种颜色就可以了。一个有环形链的H—构形就转化成了一个无环形链的H—构形了。
5、现在再用图说明以上的证明。图1是一个有环形链A—B的环形链部分，很明显C—D链是不连通的。当想要从A—B环形链的左侧A顶点断开A—B环开链时，如果与A相邻的C—D链中的两个分别处在环形的A—B链两侧的两个顶点是相同颜色（如C）的顶点时，可以直接把A改成D色就可以了（如图2）。一个有环形链A—B的构形就转化成无环形链的构形了。

如果与A相邻的C—D链中的两个分别处在环形的A—B链两侧的两个顶点是不相同颜色的顶点时（如图3），可以对A—B环内、外的任一条C—D链（如内侧的C—D链）进行颜色交换，也就可以把A换成D色了（如图4）。一个有环形链A—B的构形也就转化成无环形链的构形了。

6、由于无环形链的H—构形可以直接转化成有环形链的H—构形，而有环形链的H—构形又可以通过断链法（张彧典先生叫做Z—换色程序）转化成可约的K—构形，这样，任何H—构形就都是可约的了。四色问题也就得到了解决。不需要再在解决四色问题时再使用转型法（H—换色一序）了，也不需要再用无穷次转型也解决不了问题的埃雷拉的E—图或敢峰先生的“终极图”作无穷周期循环转型的例子了，这个图与赫渥特的H—图一样，也只是一个有环形链的H—构形罢了。

雷  明
二○二二年七月三十日于长安

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