连乘积求素数个数

yangchuanju · 发表于 2022-7-30 19:18

不要指望用连乘积计算式能够计算出某正整数以内的素数个数或某偶数的哥猜数，连乘积计算式与真值相比，误差往往相当大！

yangchuanju · 发表于 2022-7-30 19:19

连乘积求素数个数
用埃氏筛法求正整数M以内求素数个数，先用2筛除M以内的全部2的倍数，但要保留2；用3删除剩余正整数中的全部3的倍数，但要保留3；接着用筛余数中的最小数5（1和被保留的2、3不算）删除剩余正整数中的全部5的倍数，但要保留5；用7删除剩余正整数中的全部7的倍数，但要保留7；……
以此筛法筛至M平方根以内剩余正整数的最大数q，但要保留q，筛分结束。
在全部剩余数中减去1，就是M以内的全部素数。
如M=100，用2筛除2的倍数50个，保留2剩余数为51；接着用3筛除剩余数中的3的倍数9,15,21,27,33,39,45,51,57,63,69,75,81,87,93,99，因要保留3故3不筛除，共筛除16个3的倍数，剩余数为35；再用5筛除25,35,55,65,85,95共6个，剩余数为29；最后用7筛除49,77,91共3个，剩余数为26；再从剩余数中减去1，至此剩余素数25个：2,3,5,7,11，……97。

M以内的全部素数个数可以用连乘积表示。
M以内的全部素数个数m≈M*1/2*2/3*4/5*6/7*……*(q-1)/q-1+q’，其中q’表示所用筛分筛子总数，实际上这些筛子总数就是M平方根以内的素数个数；“-1”是因为1不再认为是素数，故减1。
当M相当大时，M以内素数个数m也很大，略去M平方根以内的素数个数q’和减1，则有m≈M*1/2*2/3*4/5*6/7*……*(q-1)/q=∏(q-1)/q，式中√M≥q≥2。

连乘积误差分析，当M=100时，它是2的倍数，100*1/2=50，用2筛除时不产生误差；
50个剩余数（不包括2）不是3的倍数，连乘积剩余数为100*1/2*2/3=33.33（不包括2和3），而实际要筛除17个3的倍数（包括3），连乘积已经产生误差33.33-(50-17)=0.33；
3筛后连乘积剩余数33.33不是5的倍数，连乘积剩余数为100*1/2*2/3*4/5=26.67，误差有所扩大（26.67-26=0.67）；
5筛后连乘积剩余数26.67不是7的倍数，连乘积剩余数为100*1/2*2/3*4/5*6/7=160/7=22.85，误差再扩大（22.85-22=0.85）；
22.85-1+4=25.85，而实际素数个数是25，连乘积或调减调加后的连乘积与实际素数个数相比都存在一定的误差。
对于M=100，2筛后再用5筛亦可，2和5筛后（不产生误差）剩余数40，不是3和7的倍数，最终误差不变。
许多研究者采用取整法将22.85改为22，只是为了“凑数”而已。

当M等于其它整数时，由于M一般不会是M平方根内所有素数的阶乘数，故M平方根内所有素数不可能都是M的约数（M=30除外），故连乘积总不是整数，而素数个数是整数，故连乘积误差总是存在的。
对于30，30*1/2*2/3*4/5=8，8-1+3=10，30内共有10个素数：2,3,5,7,11,13,17,19,23,29；累筛过程未产生误差。

yangchuanju · 发表于 2022-7-30 19:44

x                pi(x) mod(pi,2)
----- ---------------------- -
  1d0                   0 0
  2d0                   1 1
  3d0                   2 0
  4d0                   2 0
  5d0                   3 1
  6d0                   3 1
  7d0                   4 0
  8d0                   4 0
  9d0                   4 0
----- ---------------------- -
  1d1                   4 0
  2d1                   8 0
  3d1                   10 0
  4d1                   12 0
  5d1                   15 1
  6d1                   17 1
  7d1                   19 1
  8d1                   22 0
  9d1                   24 0
----- ---------------------- -
  1d2                   25 1
  2d2                   46 0
  3d2                   62 0
  4d2                   78 0
  5d2                   95 1
  6d2                   109 1
  7d2                   125 1
  8d2                   139 1
  9d2                   154 0
----- ---------------------- -
  1d3                   168 0
  2d3                   303 1
  3d3                   430 0
  4d3                   550 0
  5d3                   669 1
  6d3                   783 1
  7d3                   900 0
  8d3                1007 1
  9d3                1117 1
----- ---------------------- -
  1d4                1229 1
  2d4                2262 0
  3d4                3245 1
  4d4                4203 1
  5d4                5133 1
  6d4                6057 1
  7d4                6935 1
  8d4                7837 1
  9d4                8713 1
----- ---------------------- -
  1d5                9592 0
  2d5                17984 0
  3d5                25997 1
  4d5                33860 0
  5d5                41538 0
  6d5                49098 0
  7d5                56543 1
  8d5                63951 1
  9d5                71274 0
----- ---------------------- -
  1d6                78498 0
  2d6                148933 1
  3d6                216816 0
  4d6                283146 0
  5d6                348513 1
  6d6                412849 1
  7d6                476648 0
  8d6                539777 1
  9d6                602489 1
----- ---------------------- -
  1d7                664579 1
  2d7             1270607 1
  3d7             1857859 1
  4d7             2433654 0
  5d7             3001134 0
  6d7             3562115 1
  7d7             4118064 0
  8d7             4669382 0
  9d7             5216954 0
----- ---------------------- -
  1d8             5761455 1
  2d8             11078937 1
  3d8             16252325 1
  4d8             21336326 0
  5d8             26355867 1
  6d8             31324703 1
  7d8             36252931 1
  8d8             41146179 1
  9d8             46009215 1
----- ---------------------- -
  1d9             50847534 0
  2d9             98222287 1
  3d9             144449537 1
  4d9             189961812 0
  5d9             234954223 1
  6d9             279545368 0
  7d9             323804352 0
  8d9             367783654 0
  9d9             411523195 1
----- ---------------------- -
1d10             455052511 1
2d10             882206716 0
3d10          1300005926 0
4d10          1711955433 1
5d10          2119654578 0
6d10          2524038155 1
7d10          2925699539 1
8d10          3325059246 0
9d10          3722428991 1
----- ---------------------- -
1d11          4118054813 1
2d11          8007105059 1
3d11          11818439135 1
4d11          15581005657 1
5d11          19308136142 0
6d11          23007501786 0
7d11          26684074310 0
8d11          30341383527 1
9d11          33981987586 0
----- ---------------------- -
1d12          37607912018 0
2d12          73301896139 1
3d12          108340298703 1
4d12          142966208126 0
5d12          177291661649 1
6d12          211381427039 1
7d12          245277688804 0
8d12          279010070811 1
9d12          312600354108 0
----- ---------------------- -
1d13          346065536839 1
2d13          675895909271 1
3d13       1000121668853 1
4d13       1320811971702 0
5d13       1638923764567 1
6d13       1955010428258 0
7d13       2269432871304 0
8d13       2582444113487 1
9d13       2894232250783 1
----- ---------------------- -
1d14       3204941750802 0
2d14       6270424651315 1
3d14       9287441600280 0
4d14       12273824155491 1
5d14       15237833654620 0
6d14       18184255291570 0
7d14       21116208911023 1
8d14       24035890368161 1
9d14       26944926466221 1
----- ---------------------- -
1d15       29844570422669 1
2d15       58478215681891 1
3d15       86688602810119 1
4d15       114630988904000 0
5d15       142377417196364 0
6d15       169969662554551 1
7d15       197434994078331 1
8d15       224792606318600 0
9d15       252056733453928 0
----- ---------------------- -
1d16       279238341033925 1
2d16       547863431950008 0
3d16       812760276789503 1
4d16    1075292778753150 0
5d16    1336094767763971 1
6d16    1595534099589274 0
7d16    1853851099626620 0
8d16    2111215026220444 0
9d16    2367751438410550 0
----- ---------------------- -
1d17    2623557157654233 1
2d17    5153329362645908 0
3d17    7650011911220803 1
4d17    10125681208311322 0
5d17    12585956566571620 0
6d17    15034102021263820 0
7d17    17472251499627256 0
8d17    19901908567967065 1
9d17    22324189231374849 1
----- ---------------------- -
1d18    24739954287740860 0
2d18    48645161281738535 1
3d18    72254704797687083 1
4d18    95676260903887607 1
5d18    118959989688273472 0
6d18    142135049412622144 0
7d18    165220513980969424 0
8d18    188229829247429504 0
9d18    211172979243258278 0
----- ---------------------- -
1d19    234057667276344607 1
2d19    460637655126005490 0
3d19    684559920583084690 0
4d19    906790515105576571 1
5d19 1127779923790184543 1
6d19 1347790196060095447 1
7d19 1566992840325479804 0
8d19 1785508810123564582 0
9d19 2003427950419417330 0
----- ---------------------- -
1d20 2220819602560918840 0
11d19 2437738883859071352 0
12d19 2654230641818421803 1
13d19 2870332069173475114 0
14d19 3086074501674321836 0
15d19 3301484694271129863 1
16d19 3516585752930430595 1
17d19 3731397829842461168 0
18d19 3945938652811699917 1
19d19 4160223936116620138 0
2d20 4374267703076959271 1
21d19 4588082544160859769 1
22d19 4801679823609505948 0
23d19 5015069850442986858 0
24d19 5228262017542019313 1
25d19 5441264918078049891 1
26d19 5654086442526321042 0
27d19 5866733862193360875 1
28d19 6079213896842319163 1
29d19 6291532776788677116 0
3d20 6503696293016202398 0
31d19 6715709842660010419 1
32d19 6927578466326617308 0
33d19 7139306883711097257 1
34d19 7350899521639271528 0
35d19 7562360541376608899 1
36d19 7773693861212888283 1
37d19 7984903177236898645 1
38d19 8195991981104469431 1
39d19 8406963577230022026 0
4d20 8617821096373621600 0
41d19 8828567510073600316 0
42d19 9039205641441432053 1
43d19 9249738176537454087 1
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45d19 9670496572315018609 1
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47d19 10090861786688039949 1
48d19 10300902456429868917 1
49d19 10510851249004650712 0
5d20 10720710117789005897 1
51d19 10930480935734254335 1
52d19 11140165501673219782 0
53d19 11349765543485451000 0
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1d23 1925320391606803968923 1

yangchuanju · 发表于 2022-7-30 20:20

正整数素数个数平方根内最大素数 ∏（p-1)/p 连乘积调整数误差
4 2 2 0.5 2 0 0
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1600 251 37 0.1487 237.9536 11 -2.0464
1700 266 41 0.1451 246.6592 12 -7.3408
1800 278 41 0.1451 261.1686 12 -4.8314
1900 290 43 0.1417 269.2669 13 -7.7331
2000 303 43 0.1417 283.4388 13 -6.5612

yangchuanju · 发表于 2022-7-30 20:28

正整数素数个数平方根内最大素数 ∏（p-1)/p 连乘积调整数误差/素数个数
3000 430 53 0.1361 408.26 15 -0.0157
4000 550 61 0.1316 526.35 17 -0.0121
5000 669 67 0.1296 648.12 18 -0.0043
6000 783 73 0.1260 756.28 20 -0.0086
7000 900 83 0.1230 860.66 22 -0.0193
8000 1007 89 0.1216 972.56 23 -0.0114
9000 1117 89 0.1216 1094.14 23 0.0001
10000 1229 97 0.1203 1203.17 24 -0.0015
20000 2262 139 0.1114 2227.31 33 -0.0007
30000 3245 173 0.1072 3217.27 39 0.0035
40000 4203 199 0.1039 4155.79 45 -0.0005
50000 5133 223 0.1029 5146.93 47 0.0119
60000 6057 241 0.1008 6045.28 52 0.0067
70000 6935 263 0.0996 6970.79 55 0.0131
80000 7837 281 0.0981 7851.13 59 0.0093
90000 8713 293 0.0975 8771.27 61 0.0137
100000 9592 313 0.0965 9651.94 64 0.0129
200000 17984 443 0.0913 18267.32 85 0.0205
300000 25997 547 0.0886 26576.29 100 0.0261
400000 33860 631 0.0865 34606.62 114 0.0254
500000 41538 701 0.0851 42548.85 125 0.0273
600000 49098 773 0.0838 50307.97 136 0.0274
700000 56543 829 0.0830 58117.40 144 0.0304
800000 63951 887 0.0822 65733.02 153 0.0303
900000 71274 947 0.0815 73393.08 160 0.0320
1000000 78498 997 0.0810 80965.26 167 0.0336
2000000 148933 1409 0.0773 154556.49 222 0.0392
3000000 216816 1723 0.0750 225083.41 268 0.0394
4000000 283146 1999 0.0737 294686.43 302 0.0418
5000000 348513 2221 0.0727 363489.49 330 0.0439
6000000 412849 2447 0.0717 430258.53 362 0.0430
7000000 476648 2633 0.0712 498236.83 381 0.0461
8000000 539777 2819 0.0704 563591.24 409 0.0449
9000000 602489 2999 0.0700 629691.85 429 0.0459
10000000 664579 3137 0.0696 696013.96 445 0.0480
20000000 1270607 4463 0.0667 1333662.88 606 0.0501
30000000 1857859 5477 0.0651 1954218.27 722 0.0523
40000000 2433654 6323 0.0640 2561772.18 822 0.0530
50000000 3001134 7069 0.0632 3161853.88 907 0.0539
60000000 3562115 7741 0.0626 3756611.48 981 0.0549
70000000 4118064 8363 0.0621 4347504.58 1046 0.0560
80000000 4669382 8941 0.0616 4931418.51 1111 0.0564
90000000 5216954 9479 0.0612 5510089.10 1174 0.0564
100000000 5761455 9973 0.0609 6088469.25 1228 0.0570
200000000 11078937 14107 0.0587 11742238.23 1662 0.0600
300000000 16252325 17317 0.0575 17248950.73 1989 0.0614
400000000 21336326 19997 0.0567 22664825.16 2261 0.0624
500000000 26355867 22349 0.0560 28011558.90 2501 0.0629
600000000 31324703 24481 0.0555 33306524.26 2716 0.0634
700000000 36252931 26449 0.0551 38570624.78 2905 0.0640
800000000 41146179 28283 0.0548 43801214.34 3079 0.0646
900000000 46009215 29989 0.0544 48997675.33 3244 0.0650
1000000000 50847534 31607 0.0542 54166822.35 3400 0.0653
2000000000 98222287 44711 0.0524 104812849.77 4647 0.0671
3000000000 144449537 54767 0.0514 154320840.01 5570 0.0684
4000000000 189961812 63241 0.0508 203099132.85 6336 0.0692
5000000000 234954223 70709 0.0503 251354034.61 7003 0.0698
6000000000 279545368 77447 0.0499 299172394.50 7607 0.0702
7000000000 323804352 83663 0.0495 346623816.92 8165 0.0705
8000000000 367783654 89431 0.0492 393886422.60 8659 0.0710
9000000000 411523195 94849 0.0490 440785520.63 9146 0.0711
10000000000 455052511 99991 0.0488 487529178.51 9591 0.0714
20000000000 882206716 141413 0.0473 946596946.21 13131 0.0730
30000000000 1300005926 173191 0.0465 1396204633.41 15768 0.0740
40000000000 1711955433 199999 0.0460 1839597982.10 17983 0.0746
50000000000 2119654578 223589 0.0456 2278662864.01 19909 0.0750
60000000000 2524038155 244943 0.0452 2714370059.81 21630 0.0754
70000000000 2925699539 264559 0.0450 3147405634.77 23191 0.0758
80000000000 3325059246 282833 0.0447 3577677161.53 24667 0.0760
90000000000 3722428991 299993 0.0445 4006565795.49 25996 0.0763
1E+11 4118054813 316223 0.0443 4433046236.48 27292 0.0765
2E+11 8007105059 447211 0.0431 8629632657.08 37498 0.0778
3E+11 11818439135 547709 0.0425 12746248642.6 45146 0.0785
4E+11 15581005657 632447 0.0420 16811910026.8 51525 0.0790
5E+11 19308136142 707099 0.0417 20841068464.1 57083 0.0794
6E+11 23007501786 774593 0.0414 24841285177.7 62073 0.0797
7E+11 26684074310 836657 0.0412 28817264893.0 66649 0.0799
8E+11 30341383527 894427 0.0410 32773338287.4 70881 0.0802
9E+11 33981987586 948671 0.0408 36713054115.5 74811 0.0804
1E+12 37607912018 999983 0.0406 40638210171.6 78497 0.0806
2E+12 73301896139 1414211 0.0396 79285879002.1 108107 0.0816
3E+12 108340298703 1732043 0.0391 117253218861.3 130345 0.0823
4E+12 142966208126 1999993 0.0387 154785256207.5 148932 0.0827
5E+12 177291661649 2236057 0.0384 192004932373.8 165140 0.0830
6E+12 211381427039 2449487 0.0382 228982836566.2 179644 0.0833
7E+12 245277688804 2645749 0.0380 265752432754.4 192968 0.0835
8E+12 279010070811 2828389 0.0378 302351022811.3 205302 0.0837
9E+12 312600354108 2999999 0.0376 338803324083.2 216815 0.0838
1E+13 346065536839 3162277 0.0375 375126843870.0 227646 0.0840
2E+13 675895909271 4472131 0.0367 733272060039.3 314112 0.0849
3E+13 1000121668853 5477209 0.0362 1085530260215.4 379332 0.0854
4E+13 1320811971702 6324553 0.0359 1434089056888.5 433651 0.0858
5E+13 1638923764567 7071061 0.0356 1779927251143.5 481165 0.0860
6E+13 1955010428258 7745953 0.0354 2123655591921.8 523770 0.0863
7E+13 2269432871304 8366599 0.0352 2465624427441.6 562778 0.0864
8E+13 2582444113487 8944259 0.0351 2806083748070.6 599001 0.0866
9E+13 2894232250783 9486793 0.0349 3145298245354.5 632758 0.0867
1E+14 3204941750802 9999991 0.0348 3483377452961.8 664578 0.0869

yangchuanju · 发表于 2022-7-30 20:36

误差或误差/素数个数自5万以后都是正值，且一路增大！万级正整数“误差/素数个数”约为0.01，至10^13级就增大到0.085-0.087，可以想象随着正整数的继续增大，“误差/素数个数”还要增大！

任在深 · 发表于 2022-7-31 00:41

本帖最后由任在深于 2022-7-31 01:10 编辑

不懂结构数学！
怎么能理解纯粹数学的结构关系？
请看！
         《中华单位论》中华素数单位定理：

            定理1：任意偶合数2n含有素数单位的个数π(2n)

               (1)  π(2n)=[(2n+12(√2n-1)]/An

   一步到位：
               1. 求偶合数100,1000含有素数单位的个数：

                  1)  π(100)=[100+12(√100-1)/8=208/8=26
                  2) π(1000)=[1000+12(√1000-1)]/8.1=[167.9]=168

         定理2：第n个素数单位表达式。

            (2) Pn=[(NpAp+48)^1/2-6]^2

愚工688 · 发表于 2022-7-31 08:24

本帖最后由愚工688 于 2022-7-31 05:03 编辑

yangchuanju 发表于 2022-7-30 12:28
正整数素数个数平方根内最大素数 ∏（p-1)/p 连乘积调整数误差/素数个数
3000 430 53 0.1361 408.26 ...

我曾经用连乘式计算了10万内的素数数量，如下：

in [2, 1000 ]: S= 168    r= 31    k= 11 p(b)= .153  Sp= 163.7          Δ=-.026
in [2, 2000 ]: S= 303    r= 43    k= 14 p(b)= .142  Sp= 297.3          Δ=-.019
in [2, 3000 ]: S= 430    r= 53    k= 16 p(b)= .136  Sp= 424.13       Δ=-.014
in [2, 4000 ]: S= 550    r= 61    k= 18 p(b)= .132  Sp= 544.22       Δ=-.011
in [2, 5000 ]: S= 669    r= 67    k= 19 p(b)= .13 Sp= 666.99       Δ=-.003
in [2, 6000 ]: S= 783    r= 73    k= 21 p(b)= .126  Sp= 777.16       Δ=-.007
in [2, 7000 ]: S= 900    r= 83    k= 23 p(b)= .123  Sp= 883.54       Δ=-.018
in [2, 8000 ]: S= 1007    r= 89    k= 24 p(b)= .122  Sp= 996.44       Δ=-.01
in [2, 9000 ]: S= 1117    r= 89    k= 24 p(b)= .122  Sp= 1118.01       Δ= .001
in [2, 10000 ]:  S= 1229    r= 97    k= 25 p(b)= .12 Sp= 1228.05       Δ=-.001
in [2, 11000 ]:  S= 1335    r= 103 k= 27 p(b)= .118  Sp= 1324.55       Δ=-.008
in [2, 12000 ]:  S= 1438    r= 109 k= 29 p(b)= .116  Sp= 1418.42       Δ=-.014
in [2, 13000 ]:  S= 1547    r= 113 k= 30 p(b)= .115  Sp= 1521.9       Δ=-.016
in [2, 14000 ]:  S= 1652    r= 113 k= 30 p(b)= .115  Sp= 1636.67       Δ=-.009
in [2, 15000 ]:  S= 1754    r= 113 k= 30 p(b)= .115  Sp= 1751.44       Δ=-.001
in [2, 16000 ]:  S= 1862    r= 113 k= 30 p(b)= .115  Sp= 1866.21       Δ= .002
in [2, 17000 ]:  S= 1960    r= 127 k= 31 p(b)= .114  Sp= 1966.61       Δ= .003
in [2, 18000 ]:  S= 2064    r= 131 k= 32 p(b)= .113  Sp= 2065.84       Δ= .001
in [2, 19000 ]:  S= 2158    r= 137 k= 33 p(b)= .112  Sp= 2164.16       Δ= .003
in [2, 20000 ]:  S= 2262    r= 139 k= 34 p(b)= .111  Sp= 2261.2       Δ= 0
in [2, 21000 ]:  S= 2360    r= 139 k= 34 p(b)= .111  Sp= 2372.56       Δ= .005
in [2, 22000 ]:  S= 2464    r= 139 k= 34 p(b)= .111  Sp= 2483.93       Δ= .008
in [2, 23000 ]:  S= 2564    r= 151 k= 36 p(b)= .11 Sp= 2563.25       Δ= 0
in [2, 24000 ]:  S= 2668    r= 151 k= 36 p(b)= .11 Sp= 2673.14       Δ= .002
in [2, 25000 ]:  S= 2762    r= 157 k= 37 p(b)= .109  Sp= 2766.53       Δ= .002
in [2, 26000 ]:  S= 2860    r= 157 k= 37 p(b)= .109  Sp= 2875.71       Δ= .005
in [2, 27000 ]:  S= 2961    r= 163 k= 38 p(b)= .109  Sp= 2967.81       Δ= .002
in [2, 28000 ]:  S= 3055    r= 167 k= 39 p(b)= .108  Sp= 3059.13       Δ= .001
in [2, 29000 ]:  S= 3153    r= 167 k= 39 p(b)= .108  Sp= 3167          Δ= .004
in [2, 30000 ]:  S= 3245    r= 173 k= 40 p(b)= .107  Sp= 3257.16       Δ= .004
in [2, 31000 ]:  S= 3340    r= 173 k= 40 p(b)= .107  Sp= 3364.4       Δ= .007
in [2, 32000 ]:  S= 3432    r= 173 k= 40 p(b)= .107  Sp= 3471.65       Δ= .012
in [2, 33000 ]:  S= 3538    r= 181 k= 42 p(b)= .106  Sp= 3541.68       Δ= .001
in [2, 34000 ]:  S= 3638    r= 181 k= 42 p(b)= .106  Sp= 3647.73       Δ= .003
in [2, 35000 ]:  S= 3732    r= 181 k= 42 p(b)= .106  Sp= 3753.78       Δ= .006
in [2, 36000 ]:  S= 3824    r= 181 k= 42 p(b)= .106  Sp= 3859.84       Δ= .009
in [2, 37000 ]:  S= 3923    r= 191 k= 43 p(b)= .105  Sp= 3946.35       Δ= .006
in [2, 38000 ]:  S= 4017    r= 193 k= 44 p(b)= .105  Sp= 4032.07       Δ= .004
in [2, 39000 ]:  S= 4107    r= 197 k= 45 p(b)= .104  Sp= 4117.25       Δ= .002
in [2, 40000 ]:  S= 4203    r= 199 k= 46 p(b)= .104  Sp= 4201.68       Δ= 0
in [2, 41000 ]:  S= 4291    r= 199 k= 46 p(b)= .104  Sp= 4305.58       Δ= .003
in [2, 42000 ]:  S= 4392    r= 199 k= 46 p(b)= .104  Sp= 4409.47       Δ= .004
in [2, 43000 ]:  S= 4494    r= 199 k= 46 p(b)= .104  Sp= 4513.37       Δ= .004
in [2, 44000 ]:  S= 4579    r= 199 k= 46 p(b)= .104  Sp= 4617.26       Δ= .008
in [2, 45000 ]:  S= 4675    r= 211 k= 47 p(b)= .103  Sp= 4700          Δ= .005
in [2, 46000 ]:  S= 4761    r= 211 k= 47 p(b)= .103  Sp= 4803.4       Δ= .009
in [2, 47000 ]:  S= 4851    r= 211 k= 47 p(b)= .103  Sp= 4906.8       Δ= .012
in [2, 48000 ]:  S= 4946    r= 211 k= 47 p(b)= .103  Sp= 5010.2       Δ= .013
in [2, 49000 ]:  S= 5035    r= 211 k= 47 p(b)= .103  Sp= 5113.61       Δ= .016
in [2, 50000 ]:  S= 5133    r= 223 k= 48 p(b)= .103  Sp= 5194.82       Δ= .012
in [2, 51000 ]:  S= 5222    r= 223 k= 48 p(b)= .103  Sp= 5297.76       Δ= .015
in [2, 52000 ]:  S= 5319    r= 227 k= 49 p(b)= .102  Sp= 5378.12       Δ= .011
in [2, 53000 ]:  S= 5408    r= 229 k= 50 p(b)= .102  Sp= 5457.89       Δ= .009
in [2, 54000 ]:  S= 5500    r= 229 k= 50 p(b)= .102  Sp= 5559.93       Δ= .011
in [2, 55000 ]:  S= 5590    r= 233 k= 51 p(b)= .102  Sp= 5638.88       Δ= .009
in [2, 56000 ]:  S= 5683    r= 233 k= 51 p(b)= .102  Sp= 5740.48       Δ= .01
in [2, 57000 ]:  S= 5782    r= 233 k= 51 p(b)= .102  Sp= 5842.08       Δ= .01
in [2, 58000 ]:  S= 5873    r= 239 k= 52 p(b)= .101  Sp= 5920.02       Δ= .008
in [2, 59000 ]:  S= 5963    r= 241 k= 53 p(b)= .101  Sp= 5997.43       Δ= .006
in [2, 60000 ]:  S= 6057    r= 241 k= 53 p(b)= .101  Sp= 6098.18       Δ= .007
in [2, 61000 ]:  S= 6145    r= 241 k= 53 p(b)= .101  Sp= 6198.94       Δ= .009
in [2, 62000 ]:  S= 6232    r= 241 k= 53 p(b)= .101  Sp= 6299.69       Δ= .011
in [2, 63000 ]:  S= 6320    r= 241 k= 53 p(b)= .101  Sp= 6400.45       Δ= .013
in [2, 64000 ]:  S= 6413    r= 251 k= 54 p(b)= .1 Sp= 6476.51       Δ= .01
in [2, 65000 ]:  S= 6493    r= 251 k= 54 p(b)= .1 Sp= 6576.86       Δ= .013
in [2, 66000 ]:  S= 6591    r= 251 k= 54 p(b)= .1 Sp= 6677.22       Δ= .013
in [2, 67000 ]:  S= 6675    r= 257 k= 55 p(b)= .1 Sp= 6752.41       Δ= .012
in [2, 68000 ]:  S= 6774    r= 257 k= 55 p(b)= .1 Sp= 6852.37       Δ= .012
in [2, 69000 ]:  S= 6854    r= 257 k= 55 p(b)= .1 Sp= 6952.33       Δ= .014
in [2, 70000 ]:  S= 6935    r= 263 k= 56 p(b)= .1 Sp= 7026.69       Δ= .013
in [2, 71000 ]:  S= 7033    r= 263 k= 56 p(b)= .1 Sp= 7126.27       Δ= .013
in [2, 72000 ]:  S= 7128    r= 263 k= 56 p(b)= .1 Sp= 7225.86       Δ= .014
in [2, 73000 ]:  S= 7218    r= 269 k= 57 p(b)= .099  Sp= 7299.42       Δ= .011
in [2, 74000 ]:  S= 7301    r= 271 k= 58 p(b)= .099  Sp= 7372.54       Δ= .01
in [2, 75000 ]:  S= 7393    r= 271 k= 58 p(b)= .099  Sp= 7471.38       Δ= .011
in [2, 76000 ]:  S= 7484    r= 271 k= 58 p(b)= .099  Sp= 7570.23       Δ= .012
in [2, 77000 ]:  S= 7567    r= 277 k= 59 p(b)= .098  Sp= 7642.6       Δ= .01
in [2, 78000 ]:  S= 7662    r= 277 k= 59 p(b)= .098  Sp= 7741.09       Δ= .01
in [2, 79000 ]:  S= 7746    r= 281 k= 60 p(b)= .098  Sp= 7812.89       Δ= .009
in [2, 80000 ]:  S= 7837    r= 281 k= 60 p(b)= .098  Sp= 7911.03       Δ= .009
in [2, 81000 ]:  S= 7925    r= 283 k= 61 p(b)= .098  Sp= 7982.08       Δ= .007
in [2, 82000 ]:  S= 8017    r= 283 k= 61 p(b)= .098  Sp= 8079.87       Δ= .008
in [2, 83000 ]:  S= 8106    r= 283 k= 61 p(b)= .098  Sp= 8177.66       Δ= .009
in [2, 84000 ]:  S= 8190    r= 283 k= 61 p(b)= .098  Sp= 8275.46       Δ= .01
in [2, 85000 ]:  S= 8277    r= 283 k= 61 p(b)= .098  Sp= 8373.25       Δ= .012
in [2, 86000 ]:  S= 8362    r= 293 k= 62 p(b)= .097  Sp= 8443.34       Δ= .01
in [2, 87000 ]:  S= 8450    r= 293 k= 62 p(b)= .097  Sp= 8540.8       Δ= .011
in [2, 88000 ]:  S= 8543    r= 293 k= 62 p(b)= .097  Sp= 8638.25       Δ= .011
in [2, 89000 ]:  S= 8619    r= 293 k= 62 p(b)= .097  Sp= 8735.71       Δ= .014
in [2, 90000 ]:  S= 8713    r= 293 k= 62 p(b)= .097  Sp= 8833.17       Δ= .014
in [2, 91000 ]:  S= 8802    r= 293 k= 62 p(b)= .097  Sp= 8930.63       Δ= .015
in [2, 92000 ]:  S= 8887    r= 293 k= 62 p(b)= .097  Sp= 9028.09       Δ= .016
in [2, 93000 ]:  S= 8984    r= 293 k= 62 p(b)= .097  Sp= 9125.55       Δ= .016
in [2, 94000 ]:  S= 9070    r= 293 k= 62 p(b)= .097  Sp= 9223.01       Δ= .017
in [2, 95000 ]:  S= 9157    r= 307 k= 63 p(b)= .097  Sp= 9291.31       Δ= .015
in [2, 96000 ]:  S= 9252    r= 307 k= 63 p(b)= .097  Sp= 9388.45       Δ= .015
in [2, 97000 ]:  S= 9336    r= 311 k= 64 p(b)= .097  Sp= 9456.29       Δ= .013
in [2, 98000 ]:  S= 9418    r= 313 k= 65 p(b)= .097  Sp= 9523.8       Δ= .011
in [2, 99000 ]:  S= 9505    r= 313 k= 65 p(b)= .097  Sp= 9620.32       Δ= .012
in [2, 100000 ]: S= 9592    r= 313 k= 65 p(b)= .097  Sp= 9716.84       Δ= .013

求X内的素数数量，我的Basic 程序太低级了,不能计算大的范围。我曾经试验过，计算到3千万用了近3天。

大傻8888888 · 发表于 2022-7-31 09:23

本帖最后由大傻8888888 于 2022-7-31 11:52 编辑

当2≤p≤N，根据梅滕斯定理
∏﹙1-1/p﹚～e^(-γ)/lnN 【1】
同样当2≤p≤√N，根据梅滕斯定理
∏﹙1-1/p﹚～e^(-γ)/ln√N=2e^(-γ)/lnN =1.12918967......../lnN 【2】
所以当N趋近无限大时用连乘积计算式能够计算出某正整数以内的素数个数是实际值的1.12918967........ 倍。同样当偶数N趋近无限大时用连乘积计算式能够计算出某偶数的哥猜数是实际值的1.260947........倍。

yangchuanju · 发表于 2022-8-1 13:07

【转载】qingjiao [分享]梅滕斯(Mertens)定理2楼贴发表于 2009-12-28 01:10
“民科”一词有贬义，还是称之为数学爱好者。
一个典型的错误就是，求素数个数时使用类似下式：
π(x)=x*(1-1/2)*(1-1/3)*(1-1/5)*...*(1-1/p), p≤√x。
这个式子的主要问题不在于整除误差，而是它的应用基础。实际上它是将素数的出现当作一个个不相关的独立事件，将它们的概率相乘。但是，你怎么知道，怎么证明素数的出现是一个个不相关的独立事件？？
许多爱好者，典型的例如“胡桢”，总是抱怨“主流数学界”不承认用概率求素数个数的方法，是刻意打压云云。其实不是不能用概率，而是用概率必须有一定的前提。这个前提不满足，或者不证明满足，那就不能乱用。
事实上该式求出素数个数的误差，在某个x之后是不断扩大的，利用excel等简单工具就可以验证。为什么会出现这种情况呢？前人早已证明：
∏(1-1/p)=e^(-γ)/lnx+O(1/(lnx)^2)，p≤x。
取其主项，当x-->∞时，x*∏(1-1/p)，p≤√x-->x/1.7810ln√x=1.123x/lnx=1.123π(x)
一个好的公式，至少在x增大时，相对误差应不断缩小，而不是增大或不变。显然x*∏(1-1/p)不符合这一条。类似地，爱好者们用来求哥猜解数的含有(1-2/p)之类的连乘式子，同样缺乏应用的前提，同样会在某个x之后相对误差不断增大。
以上现象暗示，素数的出现并非一个个不相关的独立事件，而是存在某种相关性，只是这种相关性不能用简单的数学形式表示罢了。

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连乘积求素数个数

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