四色猜测的最新证明方法

雷明85639720

四色猜测的最新证明方法
雷  明
（二○二二年七月三十一日）

平面图4—着色时总得要有一个是最后着色的顶点，把这种还有一个顶点未进行4—着色的图就叫构形。未着色的顶点是待着色顶点，与待着色顶点相邻的顶点叫围栏顶点。证明四色猜测时，就是要解决构形中的待着色顶点能不能着上图中已用过的四种颜色之一的问题。
由于任何平面图中总有至少一个顶点的度是小于等于5的，所以就把平面图的构形可以分成可以避免的构形和不可避免的构形。可以避免的构形名符其实，是可以避免的。因为对任何平面图着色时，总可以把最后要着色的待着色顶点放在度是小于等于5 的顶点之上。
把不可避免的构形再根据围栏顶点所占用的颜色数是否等于4，再可分为可直接给待着色顶点着色的构形和不可直接给待着色顶点着色的构形。可直接给待着色顶点着色的构形围栏顶点所占用的颜色数小于等于3，也是名符其实的可以直接给待着色顶点着色。
把不可直接给待着色顶点着色的构形再根据是否可以使用坎泊的颜色交换技术直接从围栏顶点中空出一种颜色来给待着色顶点着上，再分为两类，一类是可以空出的构形，另一类是不可空出的构形。可以空出的构形可以把空出来的一种颜色给待着色顶点着上。问题也就解决了。
可以从围栏顶点中空出颜色的构形和以上的可以直接着色的构形都是坎泊早在1879年已经证明过是可约的K—构形。现在还要证明的就是从围栏顶点中空不出任何一种颜色来的H—构形了。
在BAB型的H—构形中一定是含有A—C和A—D双环交叉链的。因为双环交叉链是构成H—构形的必要条件，没有它，不能构成H—构形，但有了它，却不一定都是H—构形。只要断开了双环交叉链，构形就会转化成可约的K—构形了，问题也就可以解决了。
要断开双环交叉链，就必须改变双环交叉链的起始顶点（或交叉顶点）和末端顶点的颜色。要改变这些顶点的颜色，就得要交换A—B链或C—D链。为了防止交换时，图中所有的A、B（或C、D）顶点都换了颜色，图中就得含有环形的C—D（或A—B）链把A—B（或C—D）链分成不连通的两部分。
这样，就可以把H—构形再分成有经过了围栏顶点的环形链的构形和无经过围栏顶点的环形链的构形。其中有环形链的又可分为有A—B环形链的和有C—D 环形链的两种。有A—B环形链的可以从双环交叉链末端的围栏顶点C和D开始交换C—D链，使双环交叉链断开，H—构形转化成可约的K—构形；有C—D环形链的可以从双环交链的共同起始顶点开始交换A—B链，使双环交叉链断开，H—构形也就转化成了可约的K—构形。
这种交换方法虽然仍是坎泊的颜色交换技术，但交换的方法和结果是不同的。坎泊交换的是围栏的对角链，结果是空出了一种颜色给待着色顶点的；而这里交换的是邻角链，结果还是没有空出颜色来的，待着色顶点仍是没有着上颜色的，只是把H—构形转化成了K—构形。所以把坎泊的交换就叫空出颜色的交换；而这里的交换就叫断链交换。
现在，有环形链的H—构形的问题解决了，还有无环形链的H—构形该怎么办呢？既是无环形链的构形，就不可能用断链法。但可以使无环形链的构形转化成有环形链的构形。

在无环形链的H—构形中，总可以看到如图1中的两个加大顶点，这两个顶点既是某一个环形链的缺口，又是另一条相反链经过的必由之路。这两个顶点的颜色只要有一个发生了变化，就会有一条链变成了环形链。一个无环形链的构形就会转化成有环形链构形了。把图1上面的加大顶点由A改成D时，图就会转化成有环形链C—D的构形（如图2），把图1下面的加大顶点C改成B时，图也就会转化成有环形链A—B的构形（如图3）。然后再用断链法处理就行了。同样的，进行相反方向的换色，也可把有环形链的构形转化成无环形链的构形。
对于图2，当把上方的加大顶点D改成A，再把下方的加大顶点C改成B时，有环形链C—D的构形图2就转化成了有环形链A—B的构形图3了；对于图3，当把上方的加大顶点A改成D，再把下方的加大顶点B改成C时，有环形链A—B的构形图3就转化成了有环形链C—D的构形图2了。这一现象说明了两种有环形链的构形间也是可以相互转化的。
现在要问，会不会在把无环形链的构形转化成有环形链的构形时出现，在需要改变颜色的顶点的两侧是不同颜色的顶点，而不能改变该顶点的颜色，也不能构成环形链的情况呢？不会的。因为图1的结构已经决定了在加大顶点的两侧，处在同一条链上的两个顶点，一定是两个相同颜色的顶点。改变加大顶点的颜色为A—B链或C—D链中某一条链中的另一种颜色，一定可以使无环形链的H—构形转化成有环形链的H—构形的。
另外，H—构形就只有以上三种情况，一是有环形链的，又分为有A—B环形链和有C—D环形链的两种情况，另一是无环形链的，除此三种外再别无他型。况且这三种情况间两两都是可以相互转化的。既可以相互转化，就不会出现这种不能构成环形链的情况。这就可以保证无环形链的H—构形一定是可以转化成有环形链的H—构形的。
当然，在解决无环形链的H—构形的可约性时，除了把构形转化成有环形链的构形外，还可以用交换邻角链使构型转型的转型法。逆时针转型也可以，顺时针转型也可以；有限次的连续转型也可以，中途转化成了有环形链的构形时，改用断链法也可以，以提前结束转型。总之，无环形链的H—构形的解决办法是非常多的，都说明了无环型链的H—构形都是可约的。
现在，平面图的所有的不可避免构形都是可约的（即可4—着色的）了，四色问题也就解决了。四色猜测是正确的。

雷  明
二○二二年七月三十一日于长安

雷明85639720

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