过点 P(2,1) 的直线与椭圆 x^2/9+y^2/4=1 交于两点，求过这两点的椭圆切线交点的轨迹

dodonaomikiki

椭圆： \(       \frac{x^2}{9}+  \frac{y^2}{4}=1      \)
她里面有一点：\(     P（2，1）      \)
过这个点，我们作了很多椭圆割线，
每条割线和椭圆交于两点，
过这两点作椭圆切线，两切线又交于一点。
                  

显然，无数切线的交点，构成了一个轨迹。
请证明：这个轨迹乃是一条直线：
\(     \frac{2  \bullet  x}{9}+  \frac{1   \bullet   y}{4}=1      \)

dodonaomikiki

配图如此

yeyucaiji

九分之x^2+四分之y^2=1可拆成九分之x*x+四分之y*y=1,带入（2,1），就是那直线，原理和圆的一样。

dodonaomikiki

yeyucaiji 发表于 2022-8-2 13:08
九分之x^2+四分之y^2=1可拆成九分之x*x+四分之y*y=1,带入（2,1），就是那直线，原理和圆的一样。

后来，我想到的办法


取三条割线
结果，就有三组切线
每一组切线，形成一个交点



三个交点构成一条直线，并求出这个直线方程！



这个方法比较“狡猾顽皮”，也不能称之为证明啦，最多可以算作【说明 】
【旁注：计算起来还很麻烦繁琐 】

luyuanhong

luyuanhong

dodonaomikiki

                  

5楼中Q点坐标的计算，进行补一下 展一下
吾木有去运用极限的定义，
这是要老命的！


\(          Set:   Q(x,y   )                 \)
\(          \frac{y}{x}  =\frac{   \frac{1}{2}  }{   \frac{2}{3}   } = \frac{1}{2}\bullet \frac{3}{2} = \frac{3}{4}                  \)
\(          \Longrightarrow  \sqrt{(\frac{3}{4}x) ^2 +x^2}     \sqrt{  \frac{4}{9} \bullet \frac{1}{4}   }    =1                 \)【第一次开展这样的计算】
\(         \Longrightarrow \frac{25}{16}x^2 \bullet    \frac{16+9}{36}                 \)
\(         \Longrightarrow x=\sqrt{    \frac{36 \bullet  16   }{ 25 \bullet  25  }}= \frac{6  \bullet   4}{25}= \frac{24}{25}                 \)

\(         \Longrightarrow              y=  \frac{3}{4}  \bullet    \frac{24}{25}=  \frac{18}{25}                 \)
\(       \Longrightarrow     (\frac{24}{25}  ,\frac{18}{25})                 \)

dodonaomikiki

对第6楼进行一下粗俗化演绎



知识点：【园之极线，极点】の说明性证明
\(                         P=极点，   Q=极线                  \)
\(                         \Longrightarrow   OP  \bullet   OQ=r^2                  \)

显然， \(                          Rt\blacktriangle  KOQ   \backsim     Rt\blacktriangle  POM                  \)
\(                         \Longrightarrow   \frac{OK}{OQ}=\frac{OP}{OM}                  \)
\(                         \Longrightarrow    OK  \bullet   OM   =r^2                  \)


又显然，   \(                         Rt\blacktriangle  KAO   \backsim     Rt\blacktriangle  AMO                  \)
\(                         \Longrightarrow   \frac{OK}{AO}=\frac{OA}{MO}                  \)
\(                         \Longrightarrow    OK  \bullet   OM   =OA^2   =r^2                  \)


又显然，   \(                         Rt\blacktriangle  KOB   \backsim     Rt\blacktriangle  BOM                  \)
\(                         \Longrightarrow   \frac{KB}{OB}=\frac{OB}{OM}                  \)
\(                         \Longrightarrow    KB  \bullet   OM   =OB^2   =r^2                  \)

dodonaomikiki

再次感谢陆老师