“拉马努金复生才能解决”：E8 格与装球问题

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“拉马努金复生才能解决”：E8 格与装球问题

乌克兰数学家维亚佐夫斯卡获得 2022 年菲尔兹奖，获奖理由是“证明 E8 给出 8 维全等球体最密堆积，以及对相关极值问题和傅里叶分析中插值问题的进一步贡献。”她的获奖工作可谓是“菲尔兹奖少有的接地气的成果”——从研究问题本身来说，她所研究的是 8 维装球堆积密度最大的问题，我们很容易理解三维空间中的装球问题；而获奖理由中所叙述的“格”也并不复杂。本文将用基本的数学知识介绍相关概念，特别是 E8 格的特殊意义，它又如何与装球问题联系起来。相关研究源远流长，而现在则是一次直接了解现代数学前沿的绝好机会。

撰文 | 倪忆（加州理工学院数学系教授）

2022 年 7 月 5 日，乌克兰数学家马林娜·维亚佐夫斯卡（Maryna Viazovska）获得菲尔兹奖。她获奖的主要工作是解决了 8 维空间中的装球问题：当 8 维空间中的球按照 E8 格的方式堆积起来时，装球密度最大。她还与人合作解决了 24 维空间中的装球问题，这时最大密度是以利奇格的堆积方式取得。


维亚佐夫斯卡（图源：EPFL）

这一获奖工作可谓是菲尔兹奖里少有的接地气的成果，普通人都能理解她到底证明了什么。从数学上说，她的获奖工作再次向世人展示了 E8 格（以及利奇格）的重要性。那么，什么是 E8 格？它又如何同装球问题联系起来的呢？

什么是格？

格（lattice），是大数学家高斯（Carl Friedrich Gauss，1777-1855）所定义的一个数学概念。我们拿二维格作为例子来说明格的定义。取一个平行四边形，将它平行移动，可以得到无数个同样形状和大小的平行四边形，使得它们铺满平面。这些平行四边形的顶点构成的集合就叫作一个二维格。


平行四边形的顶点构成一个二维格

最常见的二维格由平面上所有整点组成，也就是说，这些点在直角坐标系里的横纵坐标都是整数。相应于这一格的平行四边形就是边长为1的正方形。我们管这个格叫作正方形格。


正方形格

如果平行四边形由两个边长为 √2 的等边三角形拼成，得到的格称为六边形格。


六边形格

类似于平面格，在三维空间，我们可以用平行六面体平移堆满空间，平行六面体的顶点的集合就是一个三维格。

当这个平行六面体是正方体时，对应的格叫作简单立方格。在简单立方格的基础上，再添加每个立方体各个面的中心，得到的格叫作面心立方格。

在许多晶体中，原子或者分子就是按照格的方式来排列，所以化学家们经常要跟格打交道。例如 α 相的固态钋的晶体结构是简单立方结构，而常见的氯化钠（食盐）晶体里的氯原子是按照面心立方格方式排列。


固态钋的 α 相结构（图源：维基百科）


氯化钠晶体结构，其中绿色大球表示氯原子（图源：维基百科）

不过，晶体学中所说的 lattice 跟我们这里的格不完全一样，例如晶体学中常见的密排六方晶格就不是我们所说的格。我们所说的格，在晶体学中被称为 Bravais lattice 。

高维空间中的格可以类似地定义。不过，为了叙述的简洁，我们采用线性代数的语言。



独一无二的 E8 格



另外一个著名的幺模偶格是 24 维的利奇格（Leech Lattice）。康威（John Horton Conway，1937-2020）曾经在研究利奇格的对称群时发现了3个散在单群。

E8 格是数学里非常重要的一个对象，它频繁出现在群论、李代数、拓扑、模形式、弦理论等数学和物理领域中，编码理论中的汉明码（Hamming code）也跟 E8 格有关。

1962 年，米尔诺（John Milnor）因为发现七维球面上的“怪异”微分结构而获得菲尔兹奖。利用 E8 可以构造出七维球面上的全部 28 个不同的微分结构。

1983 年，弗里德曼（Michael Freedman）因证明四维庞加莱猜想而获得菲尔兹奖。弗里德曼实际上完成了单连通四维闭流形的拓扑分类。他的结果的一个推论就是，存在没有微分结构的四维流形。这个流形的构造就利用了 E8 。

不过，尽管好几位菲尔兹奖得主的获奖工作都与 E8 有关，今年 E8 还是第一次直接出现在菲尔兹奖获奖工作中。这次 E8 大显身手的舞台是装球问题。

开普勒猜想

装球问题（sphere packing problem）是一个来源于日常生活的问题：把同样大小的球堆积起来，怎么样才能使得密度最大？一种自然的堆积方式是，先把球铺排一层，使得每个球周围恰好有六个球与之相切。然后在适当的空隙上方再放置一层球，在适当的空隙下方也可以放置一层球。依此类推，铺至整个空间。容易算出，这种方法得到的堆积密度是

π/√18 = 0.74048…

著名天文学家开普勒（Johannes Kepler，1571-1630）在 1611 年的一篇文章中猜测，这样堆积的密度是最大的。这就是开普勒猜想。


装球问题起源于对堆积加农炮弹的研究，图中所示的堆积方式便达到了最大密度（图源：维基百科）

动手试一下，就会发现，实现这一密度的堆积方法有很多种。在下图里，圆圈表示放好的一层球。接下来的一层球如何放有两种选择：既可以放到红点所在空隙的上方，也可以放到蓝点所在空隙的上方。同样地，放好这一层后，再接下来一层又有两种选择。以此类推，可以看出，能取得最大密度的堆积方式有无穷多种。



可以说，每一个卖橘子的商贩都知道这种堆积能取得最大密度，但这一事实的证明却花了人类四百多年时间。

装球问题的困难在于，在一个小范围里可以有一种装球方式，使得这个小范围里的堆积密度大于 π/√18 。可一旦你想把这种装球方式扩充到整个空间，堆积密度必然会小于 π/√18 。所以装球问题不可能用简单的局部分析来解决。


红色小球周围均匀放置了 12 个蓝色小球与之相切（图源：维基百科）

我们可以看一个例子。在达到最大堆积密度的装球方式里，每个球周围恰好有 12 个球跟它相切。但是，这 12 个球并没有以最均匀的方式分布。上图是另外一种在（红色）小球周围放置 12 个与之相切的（蓝色）小球的方式，蓝球的球心构成正十二面体十二个面的中心。跟达到最大堆积密度的堆积方式相比，这种堆积方式的 12 个球分布得更均匀，局部上有着更高的对称性。可以算出，红球附近的堆积密度是 0.7546… ，比 π/√18 = 0.74048… 略大。但是，你没法把这一堆积方式扩充到整个空间，使得每个小球周围都有这么 12 个均匀分布的小球！所以 0.7546… 这一密度在整个空间中是不能实现的。

有同学会问了：“都是跟 12 个小球相切，为什么分布越均匀局部密度越大？”可以这么想：假设有四条彪形大汉，从东南西北四个方向围着你，是不是压迫感十足？现在如果这四条大汉跟你的距离不变，但改成半包围形势，留出一个方向让你跑路，是不是压迫感没那么强了？这就是为什么分布越均匀，局部密度就越大。当然，局部密度在数学上有严格定义，我们就不在这里给出了。

1831 年，高斯证明了，如果把球按照格的方式堆积起来，那么最大密度是 π/√18 。但这离开普勒猜想的解决还差得很远，因为达成最大密度的堆积完全可以不是格的方式。事实上，在无穷多种密度达到 π/√18 的堆积中，只有一种堆积的球心构成格。这个格就是前面提到的面心立方格。（密排六方晶格同样达到最大密度，但这不是我们所说的格。）

匈牙利数学家拉斯洛·费耶斯·托特（László Fejes Tóth，1915-2005）在 1953 年提出了一个方法，只需要进行有限多次计算就能够验证开普勒猜想。但这个计算量非常大，以当时计算机的能力根本无法完成。1998 年，美国数学家黑尔斯（Thomas Hales）使用费耶斯·托特的方法，在计算机辅助下给出了开普勒猜想的一个证明。他将开普勒猜想划分为大约十万个线性规划问题，每个问题有 200 个左右的变量，1000 个左右的限制条件，可以用计算机解答。他的论文有 270 页，此外还有 3 GB 的数据，以及超过四万行计算机程序。很显然，这样的证明不是人类所能够检验的。

黑尔斯将他的论文投到了《数学年刊》，拉斯洛·费耶斯·托特的儿子加博尔·费耶斯·托特（Gábor Fejes Tóth）率领的一个 12 人团队负责审核论文。经过四年的艰苦工作，加博尔·费耶斯·托特的团队报告说他们有 99% 的把握认为证明是对的，但他们无法确认所有计算的正确性。最终，《数学年刊》发表了黑尔斯原始论文的数学理论部分，有 120 页。其余偏重计算的部分则分成若干篇论文发表在《离散计算几何》杂志上。这种做法对于《数学年刊》这样的顶级杂志来说是相当不寻常的。

尽管黑尔斯的论文已经发表在权威杂志上，数学界仍然有很多人对其证明抱持着怀疑态度。于是黑尔斯又花了十几年时间，率领团队在 2014 年给出了一个“形式化证明”（formal proof）。也就是说，这个证明可以由计算机读取，并用现成的证明辅助软件来自动检验每一步逻辑推理是否正确。介绍这一形式化证明的论文于 2017 年发表在《数学论坛 Pi》上，算是终结了对开普勒猜想证明正确性的质疑。

虽说开普勒猜想已经得到了证明，但这个证明并不是大部分数学家想要的。黑尔斯的证明需要用计算机作海量的计算，检验证明也需要用计算机。雅可比（Carl Gustav Jacob Jacobi，1804-1851）曾说过：“科学的唯一目的是为了人类心智的荣耀。”如果人类的心智永远不能理解这个证明，又谈何荣耀呢？

8 维和 24 维的突破

开普勒猜想研究的是三维空间里的装球问题。在任意维数的空间中，也可以提出类似的装球问题，即同样大小的球堆积起来何时密度最大。这里一个“球”就是空间中到一个固定点（即“球心”）的距离不超过一个固定长度（即“半径”）的点的集合。例如直线上的一维“球”就是一条线段，平面上的二维“球”就是一个圆盘。

一维的装球问题是平凡的：最大密度是 1 ，我们只需要把线段一个个接起来就能填满直线。

二维的装球问题比较初等，很容易想到，当圆盘的中心组成一个六边形格时，密度最大。这一事实的第一个证明是挪威数学家图厄（Axel Thue，1863-1922）在 1890 年给出的。


平面上的最密堆积

在 2016 年之前，1、2、3 这三个维数是装球问题得到完全解决的仅有的三个维数。

在二维和三维，密度最大的堆积很容易猜出来，尽管证明并不容易。到了高维空间中，密度最大的堆积通常很难猜出来。但是，8 维和 24 维这两个维数比较特殊。在这两个维数存在着 E8 格和利奇格这两个高度对称的格，人们很自然地会猜测，当球心组成 E8 格或者利奇格时，堆积密度最大。



拉马努金（Srinivasa Ramanujan，1887-1920）是一位自学成才的印度数学家。他凭直觉写下了大量复杂而优美的数学公式，却无法解释它们的来历，而将其归结于神启。

维亚佐夫斯卡不是拉马努金，更没有得到神启。她花了两年时间，利用数论里的模形式，为 E8 构造出了正确的辅助函数。她的论证没有用到非常抽象的现代数学知识，而是展示出了高超的数学技巧。毫不夸张地说，十九世纪的那些数学大师们就可以理解并欣赏她的工作。

她的构造，建立在两位跟拉马努金同等级别，但远没有那么出名的数学天才的工作基础之上，并加上了她自己的独特贡献。

这里所说的第一位天才是德国数学家艾森斯坦（Gotthold Eisenstein，1823-1852），他是高斯最钟爱的弟子。高斯曾经在一封给亚历山大·冯·洪堡（Alexander von Humboldt，1769-1859）的信中称赞艾森斯坦是一个世纪中只出现几位的天才。据高斯另外一位学生莫里兹·康托尔（Moritz Cantor，1829-1920）的记载，高斯甚至说过：“只有三位超越时代的数学家，那就是阿基米德、牛顿、和艾森斯坦。”这些言论或许不无夸大之处，但艾森斯坦在他的短暂一生中无疑取得了令人瞩目的成就，这一点很像拉马努金。

艾森斯坦最重要的工作是提出了艾森斯坦级数。这是一种形如



的函数。艾森斯坦级数是数论里模形式的重要例子。

第二位天才同样是一位德国数学家，就是雅可比，前面引用过他的名言。雅可比是历史上计算能力最出色的数学家之一，著名数学史家贝尔（Eric Temple Bell，1883-1960）在《数学精英》一书中把他称为“伟大的算学家”。哈代（Godfrey Harold Hardy，1877-1947）认为，拉马努金对代数公式和无穷级数的直觉，历史上只有欧拉（Leonhard Euler，1707-1783）和雅可比才能与之相比。可见雅可比在这方面的能力是多么的杰出。

雅可比定义了四个雅可比 θ 函数，并且证明了关于它们的一系列恒等式。最基本的一个 θ 函数是



维亚佐夫斯卡本人的重要贡献是定义了一个新的积分变换。所谓积分变换，就是从一个函数出发，通过积分得到一个新的函数。著名的积分变换有傅立叶变换和拉普拉斯变换。维亚佐夫斯卡从最初几个艾森斯坦级数 E2, E4, E6 出发，经过简单的加减乘除，再用上她新定义的积分变换，得到了一个函数 a(x) ，其傅立叶变换就是它本身。用类似方法，从三个雅可比 θ 函数出发，能得到一个函数 b(x) ，其傅立叶变换是它的相反函数 -b(x) 。最终的辅助函数则是 a(x) 和 b(x) 适当的线性组合。

维亚佐夫斯卡解决 8 维装球问题的论文于 2016 年 3 月在网上发表，只有 24 页。在她把论文放上网的当天晚上，科恩就给她发信祝贺，并问能否把这一方法推广到 24 维空间。他们两人与另外三位数学家合作，在 7 天后发布了一篇 12 页的论文，证明了利奇格的堆积在 24 维空间中是密度最大的。这一团队后来又写了一篇 100 页的论文，证明 E8 格和利奇格具有“泛最优性”。也就是说，如果把无穷多个互斥的粒子放到 8 维或 24 维空间中，使得它们之间的斥力满足一定条件，那么 E8 格或利奇格就是能量最低的摆放方式。

迄今为止，装球问题只在 1、2、3、8、24 这五个维数得到解决，而泛最优性只在 1、8、24 这三个维数得到解决。为什么 8 维比 4、5、6、7 维更容易？即便这一领域的专家们也难以给出一个满意的回答。这其中或许有着非常深刻的原因。

有人会问：“我们生活的空间就是三维的。研究二维和三维的装球问题还可以说有现实意义，研究高维的干什么？”事实上，人们研究装球问题并不完全出于数学上的兴趣。三维空间的装球问题跟材料科学密切相关，高维的装球问题则在通信和编码理论中起到重要的作用。

从数学上说，装球问题不是一个孤立的问题，它跟数论、调和分析、线性规划等许多数学分支都有联系。在研究这一问题中发展出来的方法，可以被运用到别的数学领域。从这一意义来说，装球问题就像一只下金蛋的鹅。维亚佐夫斯卡所发展的方法，正是这只鹅下的诸多金蛋之一。菲尔兹奖的表彰，一定程度上是对金蛋成色的肯定吧。