【趣题分享】解方程 x^x=4^(x+16) ，求 x 的正实数解

elim

题： 解方程 \(x^x=4^{x+16}\).

永远

朗博函数

luyuanhong

题  解方程 x^x = 4^(x+16) ，求 x 的正实数解。

解  对方程两边同时取对数，得

           x lnx = (x+16)ln4 ，x lnx/ln4 = x+16 ，x(lnx/ln4-1) = 16 。

    如果 0＜x＜16 ，则 x(lnx/ln4-1)＜16×(ln16/ln4-1) = 16 ，这时不可能有解。

    如果 x＞16 ，则 x(lnx/ln4-1)＞16×(ln16/ln4-1) = 16 ，这时也不可能有解。

    只有 x = 16 时，x(lnx/ln4-1) = 16×(ln16/ln4-1) = 16 ，x = 16 是方程的唯一解。

elim

谢谢陆老师的解。以下的解法没有一般性，但很有趣：
题： 解方程 \(x^x=4^{x+16}\).
解： 对原方程两边乘以 \(4^{-x}\) 得 \(\big({\Large\frac{x}{4}}\big)^x=4^{16}\) 两边开4次方: \(\big({\Large\frac{x}{4}}\big)^{\large\frac{x}{4}}=4^4,\)
所以 \(x/4=4,\,x=16\) 是方程的解。但 \(t^t,\) 在 \(t \in (1,\infty)\) 上严格增，
\(x=16\) 是方程的唯一解.

波斯猫猫

题  解方程 x^x = 4^(x+16) ，求 x 的正实数解。
另一思路：由x^x = 4^(x+16)有，(x/4)^x=4^16，即xlg(x/4)=16lg4。
显然f(x)=xlg(x/4)在(0，＋∞)上是增函数，故x=16。

luyuanhong

楼上 elim 的解答很好！已收藏。

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不过解答中说“f(x)=xlg(x/4) 在 (0,＋∞) 上是增函数”有些小问题。

波斯猫猫

题  解方程 x^x = 4^(x+16) ，求 x 的正实数解。
另一思路：由x^x = 4^(x+16)有，(x/4)^x=4^16 (x＞4)，即xlg(x/4)=16lg4。
显然f(x)=xlg(x/4)在(4，＋∞)上是增函数，故x=16。   (此前草率了)

luyuanhong

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