课堂视角下的数学文化行动研究

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课堂视角下的数学文化行动研究

作者 | 仓万林（江苏省江阴市要塞中学）

原文载于《上海中学数学》2014 年第九期。

《普通高中数学课程标准(实验)》在关于课程的基本理念中，明确指出要“体现数学的文化价值”。随着课程改革的不断深入，数学文化受到空前关注，越来越多的教师和研究者达成共识：数学课程应适当反映数学的历史、应用和发展趋势，反映数学对社会发展的推动作用，数学的社会需求，社会发展对数学发展的推动作用，数学科学的思想体系，数学的美学价值，数学家的创新精神。然而，由于多种主客观因素的制约，从理念到实践往往要走较长的路。许多教师还在困惑：既然高考不考，那我为什么还要教呢？实际情况并非如此简单，从 2009 年到 2013 年，湖北高考中连续出现了数学文化的相关试题，江苏高考也在 2005 年、2008 年、2009 年和 2013 年四度考查了数学历史上著名的阿波罗尼圆，其他省份的高考中也时常出现数学文化的相关试题。为了打消部分教师的顾虑，笔者在案例设计中，充分考虑到高考评价对数学文化的关注。在常态课堂中体现数学文化的实际教学功能，有意识、系统地渗透数学文化，应立足独特的数学文化背景。

一、创设情境

文化是一个整体。从时间上看，文化具有习得性；从空间上看，文化与人类实践和理论探索的方方面面有着深刻的联系。数学作为人类文化的重要组成部分，既有广泛的外部联系，同时更有极强的内在。逻辑性与历史发展的延续性。教师可以挖掘数学课程中许多模块的独特文化背景，利用问题、方法的背景或者产生的曲折历程，创设充满浓郁数学文化的问题情境，或展示，或让学生参与其中，帮助学生开阔数学视野，深化对数学学科本质和历史渊源的认识。

案例 1 复数的引入

复数的学习使学生对数系的认识到了一个新的阶段，许多学生对复数中的i特别感兴趣，因此，课堂伊始，笔者就和学生“穿越”到几百年前，一起回味复数的“身世”。

复数产生于一元三次方程的求解过程中，这更增加了复数神秘而虚无飘渺的色彩。1545 年，意大利数学家卡尔丹在其所著的《重要的艺术》一书中提出这样的问题：把 10 分成两部分，使其乘积为 40 ，列方程为 x(10-x)=40 ，可求得根为 5-√(-15) 和 5+√(-15) 。后来，卡尔丹在解三次方程时，又一次运用了负数的平方根。可见卡尔丹肯定了负数平方根的用处。“实数”、“虚数”这两个词是由法国数学家笛卡尔在 1637 年率先提出来的，而用 i=√(-1) 表示虚数的单位则是欧拉的功绩。再后来，把实数和虚数结合起来，记成 a+bi 的形式。在虚数刚进入数的领域时，人们对它的用处一无所知，实际生活中也没有用复数来表示的量。直到高斯建立复平面的概念，才使复数有了真正的立足之地。从此，复数开始表示向量，在水力学、地图学、航空学中均有着广泛的应用。

1843 年，英国数学家哈密尔顿又提出了“四元数”的概念，就是一种形如 a+bi+cj+dk 的数。四元数都是由实数加上三个元素 i，j，k 组成，它们有如下的关系 i^2=j^2=k^2=ijk=-1 ，就像复数一样。但多元数已超出了复数的范畴，人们称其为超复数。

而课本上是这样讲的：在求一元二次方程 x^2+1=0 的解的过程中，实数集不够用了需要进行扩张，扩张后的数集，使得一元二次方程有解，从而得到复数。课本上这样处理的目的，是为了和前面学习数系的扩充过程一致起来，而且学生容易接受。至此，学生脑海中的那个抽象枯燥的已经变得栩栩如生，理解更加深刻了。从数学发展史来看，数学成果的流传主要是数学思想方法的流传，所以在学习知识的过程中，只有了解数学研究的历史背景，分析前人工作的方法，才能透过现象看本质，得到有益的启示，激发出思想的火花，并真正学会“像数学家那样思考”。

数学课程通常给出的是一个系统的逻辑论述，好像从这一结论到那一个定理是很自然的事情。其实历史的发展并非一帆风顺，案例 1 可以使学生认识到，一个学科的发展是从点滴积累开始的，有的甚至需要几百年时间。通过数学文化的渗透，中外数学家刻苦钻研、严谨创新以及为了科学事业勇于献身的例子也成为很好的教育素材，学生从中能获得勇气，勇于面对学习中的挫折和困难。



类似的案例在新课程中有很多，如教学中经常提到的七桥问题、数列学习中遇到的印度国王重赏国际象棋发明者的故事等。无论是从培养兴趣还是从理解教材的角度看，数学文化在教学情境中的应用均是很好的范例。

二、突破难点

考虑到中学生认知的基本特征，从数学教育的视野来看，数学本身具有高度的抽象性、严密的逻辑性和广泛的应用性等特点，在教学中单纯讲解定义、定理和公式，较难取得理想的效果。有经验的教师，往往是通过富有启发性的问题来进行教学的，如在高中函数概念教学中，如果采取先给出定义，再举例、练习强化的传统方式进行教学，效果往往不佳，尤其是学生常常将初中函数概念与高中函数概念混淆不清。针对这种情况，笔者在学生学习函数性质时，向其介绍著名的狄利克雷函数。

案例 2 狄利克雷函数



此时再来品味这个问题，是不是有“一览众山小”的感觉呢？狄利克雷函数为何可以帮助理解函数的本质？从数学文化视角来看，函数的演变是因为一些“怪”的函数的出现。比如常见的高斯函数，使人们对函数的性质认识不断深入，推动了数学学科的发展。合理应用这些素材，将使学生对学科的认识取得本质的提升。

三、微型探究

传统的数学教学一般只涉及到数学的两个层面：数学的概念、命题，数学的思想和方法。新课程标准中的“数学文化”要求，是其第三个层面。在新课程中，数学文化与数学探究、数学建模一起，贯穿于整个高中数学课程的重要内容当中。

在新课程教学中，合作探究学习是人们关注的热点之一。但从实施的效果来看，脱离学生能力和学习方式实际的低效率和伪探究，在许多公开课中成为一种探究秀。微型探究学习作为探究学习的一种，可以为数学课堂探究学习找到一种有效的实施途径。结合目前高中数学课堂的实际情况，根据“再创造”理论和发现学习理论，结合“最近发展区”理论，应选择难度适宜的微型探究学习的内容进行探究。微型探究可以以自然课时为单位，一到两个课时系统分析一个核心问题，解决原本探究中几分钟时间没有效果、无有效引导和调控的一味讨论而浪费时间的弊病。一般来说，可以每个月安排一次，或者每学期系统开展三到五次。

数学名题给数学微型探究学习提供了良好的素材和思路来源。对于那些需要通过重复训练才能达到的目标，数学历史名题可以使这种枯燥乏味的过程变得富有趣味和探索意义，从而极大地调动学生的积极性。对于学生来说，历史上的问题是真实的，因而更为有趣；历史名题的提出一般来说都是非常自然的，它或者直接提供了相应数学内容的现实背景，或者揭示了实质性的数学思想方法，这对于学生理解数学内容和方法都是重要的。许多历史名题的提出与解决与大数学家有关，让学生感到自己正在探索一个曾经被大数学家探索过的问题，也会从学习中获得成功的享受，这对于学生建立良好的情感体验无疑是十分重要的。最后，历史名题往往可以提供生动的人文背景，数学中有许多著名的反例，通常的教科书中很少会涉及它们。结合历史介绍一些数学中的反例，可以从反面给学生以强烈的震撼，加深他们对相应问题的理解，通过对数学名题案例中问题的分析和自主探索，使学生有机会去理解数学概念、结论逐步形成的过程，理解蕴含其中的数学思想方法，领会数学的美学价值，从而有利于提高学生的文化素养，培养其创新意识。开发适合中学数学教学的与数学名题有关的微型探究案例，具有一定的实践价值。

在解析几何的教学中，笔者围绕阿波罗尼圆开展了微型探究的尝试。

案例 3 阿波罗尼圆



课本上的例题和高考的试题都源于历史上有名的阿波罗尼圆：平面内到两个定点的距离之比为常数（大于 0 且不为 1 ）的点的轨迹是圆，这个圆称为阿波罗尼圆。问题的设计以数学历史上的名题为基础，体现了新课程中数学文化的重要基本理念，也显示出数学文化在选拔性考试中独特的“点石成金”的作用。

据统计，阿波罗尼圆在近十年高考中，出现在 12 道考题中，其魅力体现得淋漓尽致。2009 年的江苏高考中的解析几何问题，本质上也是阿波罗尼圆问题。热考十年，是否山穷水尽呢？答案是否定的。2013 年江苏高考中，考生和阿波罗尼圆又不期而遇。



仔细回味一下，在解析几何中的定点或者比值问题中，是否均有阿波罗尼圆的影子？许多学生对解析几何的认识往往就是感觉运算很复杂。学生之所以想不到解析法，是因为他们对解析几何的基本思想还不理解，比如他们过分淡化了运动观点，淡化了平面几何问题的解析法证明。然而，在似乎没有解析几何方法的地方，看出运用解析几何，这才是真正掌握了解析几何的基本思想方法，这与教师平时的教学应该有着千丝万缕的联系。解析几何中用代数方法解决几何问题是该模块的核心思想方法，也是数学文化的内在范畴。

在新课程中，利用著名的数学问题创设情境或者梳理重要数学思想方法等，在目前的高考中已经多次出现，最典型的莫过于“四色原理”，高考中已经反复出现过其简化的版本。

数学文化是新课程的基本理念，进行数学文化的教学，对提高学生的数学素养和数学能力作用巨大，对于教师的专业成长也有很大的推动作用。与教学文化相关的教学实践和研究值得重视。

参考文献

[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准(实验)[M].人民教育出版社，2003.

[2]仓万林.江苏省数学高考第 13 题的探究[J].数学教学，2009,2.