分析学在 20 世纪的发展

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分析学在 20 世纪的发展

数学经纬网 2022-08-20 22:09 发表于湖南

以下文章来源于小朱的读书笔记 ，作者陈跃

一. 分析学在 20 世纪之前的状况

分析学领域中的各个数学分支的基本理论大多在 19 世纪就已经初步形成，其中就包括了数学分析（高等微积分）、复变函数论、变分法和微分方程等理论。分析学的基础是经典的微积分理论。17 世纪主要由 Newton（牛顿）和 Leibniz（莱布尼兹）创造的微积分是人类思想史上最为绚丽多彩的伟大成就，它支撑起了现代数学和科学技术的宏伟大厦。在 18 世纪，Taylor（泰勒）、Maclaurin（麦克劳林）、Bernoulli（贝努利）、l’Hospital（洛必达）等数学家进一步完善了微积分的理论。



当然，Fourier（傅里叶）没有证明上述傅里叶级数一定收敛到 ，在历史上是 Cauchy（柯西）首先注意到必须证明所有级数（包括函数项级数）的收敛性。Cauchy（柯西）首次定义了数列与函数的“极限”概念，这样级数的收敛就意味着级数的部分和趋向于一个固定的数值。在 1829 年，Dirichlet（狄利克雷）证明了傅里叶级数的收敛性。

Cauchy（柯西）不仅定义了“极限”，他还定义了“连续”、“可微”和“（连续函数意义下的）可积”等最基本的分析学概念，并且证明了连续函数一定（在连续函数意义下）可积。后来在 19 世纪中叶，Riemann（黎曼）进一步给出了“黎曼积分”的基本概念，使得可积分的函数扩大到了不连续的函数。Weierstrass（魏尔斯特拉斯）也是一位分析严密化的先驱，他提出了有关函数极限的 ε-δ 定义，由此完善了整个微积分和分析理论的逻辑基础。



而 Riemann（黎曼）在研究多值复变函数时，引入了著名的黎曼面的概念（这个重要概念在 20 世纪进一步发展成了微分流形和复流形的概念）。到了19世纪的后期，Weierstrass（魏尔斯特拉斯）从复变函数的幂级数理论出发，提出了解析延拓（或解析开拓）的基本概念，并且开始对两个以上复变量的全纯函数进行研究。

二. 分析学在 20 世纪中的大发展

在 19 世纪的后期，在考察和研究傅里叶级数收敛性的过程中，Cantor（康托）创立了现代数学的基础理论——集合论。这个基本理论给分析学带来了革命性的变化。在 20 世纪初，Lebegue（勒贝格）发表了关于 Lebegue 测度和 Lebegue 积分的新理论，Lebegue 积分是对黎曼积分的极大推广，这种新积分使得傅里叶级数的研究取得重大的突破，产生了傅里叶分析这个新的分支学科。

在微分学求函数极值的基础上，19世纪的的数学家们还找到了使泛函取到极值的方法——变分法，变分法是现代物理学中重要的数学方法。由于在研究泛函关于函数的连续性和可微性时，需要把函数作为函数空间中的“点”，并且在积分方程的研究中也需要引入函数空间，于是就产生了一个名称为泛函分析的新分支学科，其中运用了线性代数与点集拓扑的方法，来处理以函数作为元素的函数空间。实际上，泛函分析的起源可以追溯到 Volterra（沃尔泰拉）在 1887 年的重要工作，那时他就提出了算子这个重要概念，算子将函数变成函数。如果算子的值域是数域，那么算子就成为了泛函。Volterra（沃尔泰拉）与 Fredholm（弗雷德霍姆）在研究积分方程时，提炼出了泛函分析的基本思想。

在 20 世纪初，Hilbert（希尔伯特）在研究具有对称核的 Fredholm 型积分方程的特征值问题时，引入了函数空间 l^2 与 L^2 。然后在此基础上，Hilbert（希尔伯特）研究了希尔伯特空间上的连续算子，他的一个重要发现是连续谱。von Neumann（冯·诺伊曼）随后建立了抽象希尔伯特空间的谱理论，在 1929 年，von Neumann（冯·诺伊曼）证明了一个十分重要的定理：希尔伯特空间中的闭线性算子有实谱分解的充要条件是是自共轭算子，这个结果为量子力学奠定了必要的数学基础。接着在 1932 年，Banach（巴拿赫）引进了比希尔伯特空间范围更广的巴拿赫空间的概念，他证明了一系列关于巴拿赫空间中闭线性算子的基本定理，其中包括开映射定理、闭图象定理和一致有界定理等。以后，巴拿赫空间又被推广为拓扑线性空间。

巴拿赫代数在 1936 年被引进，Gel’fand（盖尔范德）在这方面的基础工作，使得巴拿赫代数后来成为在研究局部紧群的线性表示理论时的重要工具。

同样在 1936 年，Sobolev（索伯列夫）通过运用微积分中的分部积分公式，给出了函数概念和导数概念的一种推广，这个推广在 1945 年被 L. Schwartz（施瓦兹）进一步发展成了广义函数的理论。广义函数是定义在函数空间上的连续线性泛函，它给出了物理学家 Dirac（狄拉克）的 δ-函数的一个合理的解释。L. Schwartz（施瓦兹）在创立广义函数理论的过程中，充分运用了拓扑线性空间的理论。

偏微分方程理论在现代数学和科学技术中具有很重要的作用，它是联系一些数学分支学科和自然科学的各个学科之间的一个桥梁。在 20 世纪 30 年代前，偏微分方程主要研究一些数学物理方程经典解的求法。从 30 年代起，各种泛函分析的方法被用于偏微分方程的研究，人们致力于寻求偏微分方程的广义解，广义函数理论极大地推动了偏微分方程现代理论的发展。到了 60 年代，数学家们又将微分算子发展成了拟微分算子，后来进一步发展成微局部分析方法。

在线性偏微分方程理论发展的同时，对各种非线性偏微分方程的研究也获得了许多进展，为此人们不断发展出各种各样的方法来解决大量复杂的非线性问题。

20 世纪的常微分方程理论的研究主要有三个方面：解析理论（例如用常微分方程来描写自守函数），定性理论（后来发展成为动力系统理论）、以及各种常微分方程应用的研究。

关于复分析，数学家们在 19 世纪所建立的一元复变函数的理论中，已经包括了黎曼面（或黎曼曲面）理论和椭圆函数理论，这些理论对后来的数论与代数几何的发展影响很大。在 20 世纪，值分布理论、拟共形映射、Teichmüller 空间等重要理论的研究都取得了很大的进展。

在 20 世纪初，人们开始研究多复变函数论，初期的工作是将单复变函数的结论推广到具有任意多个自变量的情形。然而数学家们很快发现多元复变函数与一元复变函数有着本质的区别，由于多复变函数非常复杂，所以就用到了微分几何、代数几何、拓扑学、微分方程等领域中的许多理论与方法。例如对于全纯域的问题，由 H. Cartan（H. 嘉当）和 Serre（塞尔）等人通过运用了层的上同调方法而得到解决，这个重要工作还被进一步推广到了解析空间和代数几何中。

另一方面，经过 Weyl（外尔）、Hodge（霍奇）、Kodaira（小平邦彦）和 Hirzebruch（希策布鲁赫）等人的努力，将经典的黎曼面理论推广到了高维的情形，由此产生了关于复流形与复几何的宏大理论。

三. 20世纪分析学领域中的各个分支学科

在 20 世纪分析学领域中，所形成的各个分支学科（或方向）有：

1．实分析

微分学、测度论、积分理论、不变测度、长度和面积、分形、级数与渐近级数、多项式逼近、正交函数系、傅里叶级数、傅里叶变换、小波、调和分析、殆周期函数、Laplace 变换、积分变换、位势论、调和函数、狄利克雷问题、变分法、Plateau（普拉托）问题、凸分析。

2．泛函分析

希尔伯特空间、巴拿赫空间、有序线性空间、拓扑线性空间、函数空间、广义函数、向量值积分、线性算子、紧算子与核型算子、插值空间、算子的谱分析、算子不等式、线性算子的摄动、算子半群和发展方程、巴拿赫代数、C*-代数、函数代数、冯·诺伊曼代数、非线性泛函分析。

3．微分方程

常微分方程的初值问题和边值问题、线性常微分方程、线性常微分方程的局部理论、线性常微分方程的整体理论、非线性常微分方程的局部理论、非线性常微分方程的整体理论、Painlevé 方程、非线性振动、非线性问题、常微分方程解的稳定性、积分不变量、差分方程、泛函微分方程、动力系统、低维动力系统、双曲动力系统、保守动力系统、动力系统中的分歧、全微分方程、偏微分方程及其解法、亚椭圆性与可解性、偏微分方程的初值问题、复数域中的偏微分方程、一阶偏微分方程、Monge-Ampère 方程、椭圆型偏微分方程、双曲型偏微分方程、抛物型偏微分方程、混合型偏微分方程、偏微分方程理论中的不等式、Green 函数与 Green 算子、积分方程、积分微分方程、特殊微分方程、微局部分析与拟微分算子、特殊函数、椭圆函数。

4．复分析

全纯函数与幂级数、全纯函数族、全纯函数最大值原理、解析函数边界性质、单叶函数、值分布理论、复逼近论、黎曼面、黎曼面上的分析、复动力系统、共形映射、拟共形映射、Teichmüller 空间、Klein 群、多变量解析函数、解析空间、δ 方程、全纯映射、多重下调和函数、CR-流形、核函数、Siegel 区域、周期积分。

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四. 20 世纪上半叶分析学发展过程中的大事记

下面按照年份的顺序，记录了在 20 世纪的上半叶，关于分析学发展过程中的一些重要事件。

● 1900 年，Fredholm（弗雷德霍姆）解决了 Fredholm 型积分方程的求解问题，开创了积分方程的研究领域。

Hilbert（希尔伯特）提出了变分法中重要的直接法。

● 1901 年，Holmgren 证明了解析柯西问题正则解的唯一性。

Hadamard（阿达玛）提出了常微分方程的不变流形的概念。

● 1902 年，Lebegue（勒贝格）创立了 Lebegue 积分的理论，并且提出了变分法中的下半连续性概念。

Esclangon 提出了拟-周期函数的概念。

Goursat 发表了名著《分析教程》。

● 1903 年，Hadamard（阿达玛）证明了非线性柯西问题解的唯一性，并且确定了空间上的线性泛函。

Lebegue（勒贝格）证明了傅里叶级数的 Riemann-Lebegue 定理。

Vessiot 建立了连续群与线性常微分方程的积分之间的联系。

● 1904 年，Fejér 证明了关于傅立叶级数收敛性的 Fejér 定理。

Landau 等人推广了关于整函数的 Picard（毕卡）定理。

● 1905 年，Hilbert（希尔伯特）提出了变分法中不变积分的概念。

Vitali 发现了非勒贝格可测集。

● 1906 年，Hartogs （哈托格斯）发现了著名的 Hartogs 现象，由此开创了多复变解析函数的研究领域。

Fréchet（弗雷歇）引入了抽象的拓扑空间。

Levi 引入两个变量的绝对连续函数，并且证明了单调收敛定理。

Hilbert（希尔伯特）在研究具有对称核的线性积分方程时, 引入了具体的希尔伯特空间 l^2 与 L^2 ，并且提出了弱收敛的基本概念。

Fatou（法都）证明了 Fatou 引理。

● 1907 年，Fischer（菲舍尔）建立了弱收敛的理论，并且与 Riesz（黎斯）一起证明了 Riesz-Fischer 定理：l^2 与 L^2 同构。

Riesz（黎斯）给出了希尔伯特空间的定义。

Fréchet（弗雷歇）确定了 L^2 空间上连续泛函的结构。

Fubini（富比尼）证明了 Fubini 定理。

Lebegue（勒贝格）给出了解决狄利克雷问题的新结果和新方法。

Koebe和Poincaré（庞加莱）给出了单值化定理的证明。

● 1908 年，Fredholm（弗雷德霍姆）得到了椭圆算子的基本解。

Hadamard（阿达玛）得到了双曲算子的基本解。

Moore 建立了线性算子的抽象理论。

Schmidt 给出了希尔伯特空间中的正交投影。

● 1909年，Levi 得到了高阶椭圆方程的狄利克雷问题的解。

Riesz（黎斯）得到了 C[0,1] 空间上连续泛函的表示。

Zaremba 提出了解决狄利克雷问题的正交投影方法。

● 1910 年，Levi 提出了多复变拟凸函数的概念。

Weyl（外尔）解决了二阶线性微分方程的奇异边值问题。

Riesz（黎斯）建立了 L^p 空间与 L^p 上的连续泛函的理论。

● 1911 年，Montel 建立了函数的正规族理论。

Littlewood 证明了陶布尔型定理。

Egorov（叶戈罗夫）证明了关于可测函数序列的 Egorov 定理。

● 1912 年，Fréchet（弗雷歇）建立了关于 Fréchet 微分的理论。

Luzin（卢津）证明了可测函数的 Luzin 定理。

Weyl（外尔）发现了特征值个数的渐近规律。

● 1913 年，Gevrey 提出了双曲方程的位势方法。

Carathéodory（卡拉泰奥多里）创立了几何函数论。

● 1915年，Hardy（哈代）建立了 Hp 空间的理论。

Lichtenstein 提出了变分法中的希尔伯特空间方法。

● 1916 年，Bieberbach（比伯巴赫）提出了 Bieberbach 猜想。

● 1917 年，Suslin 建立了解析集理论。

● 1918 年，Riesz（黎斯）建立了紧算子的谱理论。

E. Noether（E. 诺特）证明了变分法中等价问题的 Noether 定理。

● 1919 年，Gateaux 建立了泛函区域上的积分理论，以及具有无穷多个变量的函数的理论。

● 1920 年，Wiener（维纳）建立了赋范线性空间的理论。

Lamson 证明了函数空间中的压缩映射定理。

● 1921 年，F. Noether 建立了奇异积分方程的理论。

● 1922 年，Banach（巴拿赫）创立了完备赋范线性空间的理论，并且证明了完备赋范线性空间中的压缩映射定理。

Banach（巴拿赫）与Hahn（哈恩）证明了一致有界定理。

Lévy 发表了《泛函分析讲义》。

Nevanlinna 发现了全纯函数在奇异点或奇异直线附近的行为。

● 1923 年，Dulac 确定了极限环的个数。

Tricomi 建立了混合型偏微分方程的理论。

● 1924 年，Fueter发表了关于椭圆函数的著作。

Kneser 建立了微分系统的拓扑等价性理论。

Nevanlinna 给出了亚纯函数的值分布论估计。

Courant（柯朗）与 Hilbert（希尔伯特）发表了名著《数学物理方法 I》。


图 1：Courant（柯朗）与 Hilbert（希尔伯特）写的《数学物理方法 I》中译本，科学出版社，2011 年

● 1926 年，Riesz（黎斯）建立了关于次调和函数与位势论方面的理论。

Wiener（维纳）建立了关于广义傅里叶变换的理论。

● 1927 年，Peter与Weyl（外尔）证明了现代调和分析中著名的 Peter-Weyl 定理。

Schauder 将布劳威尔不动点定理推广到了巴拿赫空间。

Bochner（博赫纳）建立了广义傅里叶积分的理论。

E. Hopf 提出了二阶椭圆型方程的最大原理。

Birkhoff 发表了《动力系统》。

Hahn（哈恩）证明了 Hahn- Banach 定理，并且建立了对偶空间理论。

● 1928 年，Grotzsch 建立了拟共形映射的理论。

Fréchet（弗雷歇）发表《抽象空间》。

Liénard 证明了二阶常微分方程极限环的存在性。

● 1929 年，Banach（巴拿赫）证明了开映射定理。

von Neumann（冯·诺伊曼）建立了一般测度论与希尔伯特空间理论。

● 1930 年，von Neumann（冯·诺伊曼）建立了自共轭算子的谱理论。

Ahlfors（阿尔福斯）建立了共形映射理论。

Brelot 提出了狄利克雷问题的一般理论。

Landau 发表了《分析教程》。

● 1931 年，H. Cartan（H. 嘉当）证明了全纯域的凸性质。

E. Hopf与Wiener（维纳）得到了 Wiener- Hopf 型积分方程的解。

Langer 建立了线性微分方程的渐近解的理论。

● 1932 年，Besicovitch 发表《殆周期函数》。

H. Cartan（H. 嘉当）与 Thullen 用全纯凸来刻画全纯域。

Wiener（维纳）证明了陶布尔型定理，提出了单位分解，以及建立了绝对收敛傅里叶级数的理论。

Banach（巴拿赫）发表了名著《线性算子理论》。


图 2：Banach（巴拿赫）写的《线性算子理论》中译本，科学出版社，2011 年

● 1933 年，Haar（哈尔）创立了群上调和分析中的 Haar 测度理论。

● 1934 年，Leray 证明了 Navier-Stokes 偏微分方程的解的存在性，并且提出了广义导数的基本概念。

Behnke 与 Thullen 发表《多复变函数论》。

Friedrichs（弗里德里希斯）建立了微分算子的 Friedrichs 扩张的理论。

● 1935 年，Ahlfors（阿尔福斯）与 Lavrentiev 创立了拟共形映射的基本理论。

von Neumann（冯·诺伊曼）创立了局部凸拓扑线性空间的基本理论。

Bourbaki（布尔巴基）发表了第一篇论文“拓扑空间中的 Carathéodory 测度”。

H. Cartan（H. 嘉当）建立了 C^n 上解析变换群的理论。

Schauder 提出了解双曲型方程的泛函分析方法。

Zygmund 发表《三角级数》。

● 1936 年，Sobolev（索伯列夫）提出了索伯列夫空间的基本概念，并给出了关于广义函数的第一个结果。

Oka（冈洁）解决了第一Cousin（库辛）问题。

Hille 建立了线性算子的半群的理论。

Lallo-Danilevski 给出了关于线性微分方程组的重要成果。

Murray与von Neumann（冯·诺伊曼）创立了冯·诺伊曼代数的基本理论。

● 1937 年，Cimmino 证明了光滑椭圆型方程一般解的正则性。

Andronov 与 Pontryagin 创立了微分系统结构稳定性的基本理论。

Nagumo 提出了边值问题的上解与下解。

Rellich 建立了线性算子的扰动理论。

Stone 将 C(X) 作为了巴拿赫代数的一个原型。

Courant（柯朗）与 Hilbert（希尔伯特）发表了名著《数学物理方法 II》。


图 3：Courant（柯朗）与 Hilbert（希尔伯特）写的《数学物理方法 II》中译本，科学出版社，2012 年

● 1938 年，Ahlfors（阿尔福斯）对施瓦兹引理作出了重要的推广。

Morrey 给出了拟线性椭圆型方程解的赫尔德估计。

Petrovski 证明了双曲型方程柯西问题的适定性。

Riesz（黎斯）提出了波动方程柯西问题解的 Riesz 算子。

● 1939 年，Oka（冈洁）解决了第二 Cousin（库辛）问题。

Andronov 与 Leontovich 建立了平面向量场的分歧理论。

Wiener（维纳）创立了遍历理论。

● 1940 年，Weyl（外尔）提出了解狄利克雷问题的正交投影方法。

Stone 建立了 C*-代数的基本理论。

● 1941 年，H. Cartan（H. 嘉当）对位势理论做了重要工作。

● 1942 年，Oka（冈洁）解决了二元函数的 Levi（莱维）问题。

Siegel 建立了解析函数的迭代理论。

Lelong 建立多重下调和函数的理论。

● 1943 年，Mackey 建立局部凸空间中的对偶理论。

● 1944 年，Friedrichs（弗里德里希斯）建立光滑化算子和微分算子扩张的理论。

● 1945 年，L. Schwartz（施瓦兹）创立了广义函数（也称为“分布”）的基本理论。

Ambrose 建立了巴拿赫代数的系统理论。

Beurling 对谱定理做了重要工作。

● 1946 年，Godement 证明了局部紧阿贝尔群上的陶贝尔型定理。

Levinson 确定了线性微分方程解的渐近行为。

Rickart 建立了非交换赋范代数的理论。

● 1947 年，H. Cartan（H. 嘉当）与 Godement 建立了局部紧阿贝尔群上的对偶性与傅里叶分析的基本理论。

● 1948 年，Choquet 建立了收敛性理论。

Feynman（费曼）创立了路径积分（或 Feynman 积分）的基本理论。

Hille 发表了《泛函分析与半群》。

Mikusinski 对广义函数做了重要工作。

Whitney 建立了 C^n 上函数的理想的谱综合理论。

● 1949 年，H. Cartan（H. 嘉当）创立了多复变函数论中的层论。

Siegel 发表《多复变解析函数》。

Beurling 建立了希尔伯特空间中的不变子空间理论。

Dieudonné 与 L. Schwartz（施瓦兹）将巴拿赫空间的性质推广到广义函数理论。

● 1950 年，H. Cartan（H. 嘉当）提出了凝聚层的基本概念，并且创立了全纯纤维空间中的层论。

Oka（冈洁）证明了关于凝聚解析理想的Oka定理。

Garding 确定了常系数椭圆型方程的狄利克雷问题的广义解。

Kodaira（小平邦彦）与de Rham（德·拉姆）发表了《调和积分》。

Ahlfors（阿尔福斯）与Beurling 创立了共形不变量的基本理论。

L. Schwartz（施瓦兹）发表名著《广义函数论》。


图 4：L. Schwartz（施瓦兹）写的《广义函数论》中译本，高等教育出版社，2010 年

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五. 分析学阅读书目

（一）实分析

1．《数学分析（上、下）》（第二版），华东师范大学数学系，高等教育出版社，1991 年。


图 5：华东师范大学数学系编写的《数学分析（上）》

2．《微积分（上、下）》，迈克尔·斯皮瓦克（M. Spivak），高等教育出版社，1981 年。


图 6：迈克尔·斯皮瓦克（M. Spivak）写的《微积分（下）》中译本

3．《Understanding Analysis》，S. Abbott，世界图书出版公司北京公司，2008 年。


图 7：S. Abbott 写的《Understanding Analysis》

4．《重温微积分》，齐民友，高等教育出版社，2004 年。


图 8：齐民友写的《重温微积分》

5．《从大学数学走向现代数学》，徐宗本主编，科学出版社，2007 年。


图 9：徐宗本主编的《从大学数学走向现代数学》

6，《近代分析数学概要》，陈景良，清华大学出版社，1987 年。


图 10：陈景良写的《近代分析数学概要》

7．《Fourier Analysis and Its Applications》，A. Vretblad，科学出版社，2011 年。


图 11：A. Vretblad 写的《Fourier Analysis and Its Applications》

8．《傅里叶分析》，斯坦恩（Stein）、沙卡什（Shakarchi），机械工业出版社，2020 年。


图 12：斯坦恩（Stein）与沙卡什（Shakarchi）写的《傅里叶分析》中译本

9，《实变函数与泛函分析基础》（第四版），程其襄等，高等教育出版社，2019 年。


图 13：程其襄等人写的《实变函数与泛函分析基础》（第四版）

10．《实分析》，斯坦恩（Stein）、沙卡什（Shakarchi），机械工业出版社，2017 年。


图 14：斯坦恩（Stein）与沙卡什（Shakarchi）写的《实分析》中译本

11．《Postmodern Analysis》，J. Jost，Springer，1998年。


图 15：J. Jost 写的《Postmodern Analysis》

12．《分析学》（第二版），E. H. Lieb、M. Loss，高等教育出版社，2006 年。


图 16：E. H. Lieb 与 M. Loss 写的《分析学》（第二版）中译本

13．《Real Analysis》，B. Simon，American Mathematical Society，2015 年。


图 17：B. Simon 写的《Real Analysis》

14．《Harmonic Analysis》，B. Simon，American Mathematical Society，2015 年。


图 18：B. Simon 写的《Harmonic Analysis》

15. 《古今数学思想（第二、三、四册）》，莫里斯·克莱因（MorrisKline），上海科学技术出版社，2002 年。


图 19：莫里斯·克莱因（Morris Kline）写的《古今数学思想（第四册）》中译本

（二）泛函分析

16．《泛函分析讲义（上册）》（第二版），张恭庆、林源渠，北京大学出版社，2021 年。


图 20：张恭庆、林源渠写的《泛函分析讲义（上册）》（第二版）

17. 《泛函分析》（第二版），W.Rudin，机械工业出版社，2020 年。


图 21：W. Rudin 写的《泛函分析》（第二版）中译本

18．《Functional Analysis》，P. D. Lax，高等教育出版社，2007 年。


图 22：P. D. Lax 写的《Functional Analysis》

19．《Introduction to Hilbert Spaceswith Applications》（第三版），L.Debnath、P. Mikusiński，世界图书出版公司，2012 年。


图 23：L. Debnath 与 P. Mikusiński 写的《Introduction to Hilbert Spaceswith Applications》（第三版）

20. 《泛函分析》，斯坦恩（Stein）、沙卡什（Shakarchi），机械工业出版社，2019年。


图 24：斯坦恩（Stein）与沙卡什（Shakarchi）写的《泛函分析》中译本

21．《Operator Theory》，B. Simon，American Mathematical Society，2015 年。


图 25：B. Simon 写的《Operator Theory》

22．《Mathematical Analysis during the20th century》，J.-P. Pier，Oxford University Press，2001 年。


图 26：J.-P. Pier 写的《Mathematical Analysis during the 20th century》

23．《泛函分析史》，J. 迪厄多内，高等教育出版社，2016 年。


图 27：J. 迪厄多内写的《泛函分析史》中译本

（三）微分方程

24. 《常微分方程》，中山大学数学力学系常微分方程组，人民教育出版社，1978 年。


图 28：中山大学数学力学系常微分方程组编写的《常微分方程》

25．《Differential Equations：Theory，Technique，and Practice》，G. F. Simmons、S. G. Krantz，清华大学出版社，2009 年。


图 29：G. F. Simmons 与 S. G. Krantz 写的《Differential Equations：Theory，Technique，and Practice》

26．《An Introduction to DynamicalSystems》（第二版），R. C.Robinson，高等教育出版社，2017 年。


图 30：R. C.Robinson 写的《AnIntroduction to Dynamical Systems》（第二版）

27．《偏微分方程》，H. Levine，高等教育出版社，2007 年。


图 31：H. Levine 写的《偏微分方程》中译本

28. 《基础偏微分方程》，D.Bleecker、G. Csordas，高等教育出版社，2006 年。


图 32：D. Bleecker 与 G. Csordas 写的《基础偏微分方程》中译本

29．《数学物理中的偏微分方程》，T. Myint-U，上海科学技术出版社，1983 年。


图 33：T. Myint-U 写的《数学物理中的偏微分方程》中译本

30．《Partial Differential Equations》（第二版），N. H. Asmar，机械工业出版社，2012 年。


图 34：N. H. Asmar 写的《Partial Differential Equations》（第二版）

31．《偏微分方程》（第四版），F. 约翰（Fritz John），科学出版社，1986 年。


图 35：F. 约翰（Fritz John）写的《偏微分方程》（第四版）中译本

32．《An Introduction to Partial Differential Equations》（第二版），M. Renardy、R. C. Rogers，科学出版社，2011 年。


图 36：M. Renardy 与 R. C. Rogers 写的《An Introduction to Partial Differential Equations》（第二版）

33．《Partial Differential Equations I、II、III》（第二版），M. E. Taylor，世界图书出版公司，2014 年。


图 37：M. E. Taylor 写的《Partial Differential Equations I》（第二版）

34．《偏微分方程现代理论引论》，崔尚斌，科学出版社，2016 年。


图 38：崔尚斌写的《偏微分方程现代理论引论》

（四）复分析

35．《复变函数》（第四版），余家荣，高等教育出版社，200 7年。


图 39：余家荣写的《复变函数》（第四版）

36．《An Introduction to Complex Analysis and Geometry》，J. P. D’Angelo，高等教育出版社，2017 年。


图 40：J. P. D’Angelo 写的《An Introduction to Complex Analysis and Geometry》

37．《复分析》，斯坦恩（Stein）、沙卡什（Shakarchi），机械工业出版社，2017 年。


图 41：斯坦恩（Stein）与沙卡什（Shakarchi）写的《复分析》中译本

38，《复分析》（第三版），阿尔福斯（Ahlfors），机械工业出版社，2022 年。


图 42：阿尔福斯（Ahlfors）写的《复分析》（第三版）中译本

39．《复分析导引》，李忠，北京大学出版社，2004 年。


图 43：李忠写的《复分析导引》

40．《A Course in Complex Analysis and Riemann Surfaces》，W. Schlag，高等教育出版社，2022 年。


图 44：W. Schlag 写的《A Course in Complex Analysis and Riemann Surfaces》

41．《Basic Complex Analysis》，B. Simon，American Mathematical Society，2015 年。


图 45：B. Simon 写的《Basic Complex Analysis》

42．《Advanced Complex Analysis》，B. Simon，American Mathematical Society，2015 年。


图 46：B. Simon 写的《Advanced Complex Analysis》

43．《多复变函数论基础》，史济怀，高等教育出版社，2014 年。


图 47：史济怀写的《多复变函数论基础》

44，《多复变函数论》，萧荫堂、陈志华、钟家庆，高等教育出版社，2013 年。


图 48：萧荫堂、陈志华、钟家庆写的《多复变函数论》

文稿 | 陈跃

编辑 | 朱善军