设 a,b,c 都是正实数，证明：a／(b+c)+b／(c+a)+c／(a+b)≥3／2

马奕琛

\(设a,b,c均为正实数，证明：\)

\(（1）\dfrac {a}{b+c}+\dfrac {b}{a+c}+\dfrac {c}{a+b}≥\dfrac {3}{2}\)

\(（2）(a^{2}+ab+b^{2})(b^{2}+bc+c^{2})(c^{2}+ca+c^{2})≥(ab+bc+ca)^{3}\)

luyuanhong

下面是网友 drc2000 过去在《数学中国》上发表过的一个帖子：

luyuanhong

下面是我过去在《数学中国》发表过的一个帖子：

马奕琛

\(（1）证明：不妨设a≥b≥c,\)

\(则\dfrac {1}{b+c}≥\dfrac {1}{c+a}≥\dfrac {1}{a+b}\)

\(由排序不等式（顺序和≥乱序和）可知：\)

\(原式≥\dfrac {b}{b+c}+\dfrac {c}{c+a}+\dfrac {a}{a+b}\)

\(原式≥\dfrac {c}{b+c}+\dfrac {a}{c+a}+\dfrac {b}{a+b}\)

\(上述两式相加可得：2原式≥3，\)

\(即\dfrac {a}{b+c}+\dfrac {b}{a+c}+\dfrac {c}{a+b}≥\dfrac {3}{2}\)

luyuanhong

楼上 马奕琛 的解答很好！已收藏。

马奕琛

顶，求（2）的证法，好像要用一般化的holder不等式