一本影响了三代人的数学思维启蒙书

luyuanhong

一本影响了三代人的数学思维启蒙书

好玩的数学 2022-08-23 08:07 发表于江西

《趣味数学 300 题》是一本影响了三代人的数学思维启蒙书，书中的 300 道数学趣味题是很多趣味题的母题，也是很多智力测试的母题。

作者裘先生几十年奥林匹克竞赛和教学经验凝结于 300 道题中，《趣味数学 300 题》在解题思路上的分析比较多，对题目答案的分析比较详细，重视解题的过程。

趣味数学是“思想体操”，做题不是目的，一是希望孩子在慢慢的思考中去享受解题的过程，趣味自在其中。也才能真正体会到“数学好玩”。

二是让孩子知道趣味数学的一些特点，了解它和课堂上的数学练习有哪些差别。这样孩子们就能体会到这本书对辅助正课学习的积极作用了。



《趣味数学 300 题》 共有 12 章内容，从最简单的小学算术趣题开始，由易到难，循序渐进。涉及多种趣题类型。答案的篇幅比题面多，提供详细的发散的解题思路，拓宽孩子的思维宽度。

下面的趣题节选自书中，按照主题划分，帮助小伙伴们了解书中的趣题。

9 个数字

以下趣题节选自书中的第二章，主题为“9 个数字”：

1、2、3、4、5、6、7、8、9 ，几乎天天见面。+、-、×、÷ ，更是人人熟悉。本章的题目，就是利用这 9 个数字和四则运算“做文章”。做完这些题以后，对这 9 个数字的特点，会有更深的了解。

第 ① 题：只许添加号

下面是一个没有写完的等式：

1  2  3  4  5  6  7  8  9 = 99

在等式左边的数字之间，只允许插入一些加号,使等式成立。请找出所有不同的解答。

注意：在两个相连数之间，如果没有插入加号，就应该看作两位数。

第 ② 题：插入符号

这又是一个没有写完的等式：

1 2 3 4 5 6 7 8 9 = 100

在等式左边需要插入一些符号,等式才能成立。要求按照下面 3 个规定，得出 3 个等式来：

(1) 插入 7 个加号和 1 个乘号。

(2) 插入 2 个减号和 1 个加号。

(3) 插入 2 个减号和 2 个加号。

画来画去 移来移去

以下趣题节选自书中的第三章，主题为“画来画去 移来移去”：

这一章的题目，有不少包括顺序和位置两个因素。顺序和位置，是数学中很多分支研究的对象。

因此，这些看来是游戏的题目，却能给我们带来对某些数学分支的感性认识，起到学习数学知识的启蒙作用。

第 ③ 题：别致的画廊



第 ④ 题：猴子跳树桩



代数的威力

以下趣题节选自书中的第六章，主题为“代数的威力”：

当你学算术的时候，会感到有些应用题很难做,不容易列出算式。上中学以后，用代数解这些算术“难题”就容易得多了。代数总结了算术中的一般规律，因此方法上比算术具有普遍性，这就显出了它的威力。

第 ⑤ 题：一句话里 3 个问题

“当王强达到张洪现在的年龄时，张洪的年龄是李勇年龄的 2 倍。”

根据上面这一句话，请你回答 3 个问题：

(1) 谁的年龄最大？

(2) 谁的年龄最小？

(3) 王强和李勇现在的岁数是几比几？

不要忘记算术

以下趣题节选自书中的第七章，主题为“不要忘记算术”：

解应用题时,代数的方法比算术方法更快更好,这好比骑自行车总比走路快。但是，对于成长中的孩子，多走路更能锻炼腿功，两条腿有劲了，骑车也更快一些嘛！

解应用题也有类似的情况，多用算术方法解题，更能培养人的思考能力，何况有的题目根本列不出代数方程来，那只好求助于算术了。

第 ⑥ 题：两筐苹果

有两筐苹果，如果从第一筐拿出 9 个放到第二筐里，两筐的苹果数就一样多。如果从第二筐里拿出 12 个放到第一筐里，第一筐的苹果就是第二筐的 2 倍。
问每筐各有几个苹果？

有趣的几何题

以下趣题节选自书中的第九章，主题为“有趣的几何题”：

有趣的几何题，对增强几何图形的直观感觉和判断能力，丰富图形想象力是有好处的。

第 ⑦ 题：从桶外到桶内



分析和推理

以下趣题节选自书中的第十一章，主题为“分析和推理”：

在数学上，常常要求通过分析和推理来回答“是”与“否”。本章的题目也是着重逻辑推理，往往需要先否定一些错误的可能性，然后得到正确的结论。

第 ⑧ 题：猜年龄

张大妈问 3 位青年工人的年龄。

小刘说：“我 22 岁；比小陈小 2 岁；比小李大 1 岁。”

小陈说：“我不是年龄最小的；小李和我差 3 岁；小李是 25 岁。”

小李说：“我比小刘年纪小；小刘 23 岁；小陈比小刘大 3 岁。”

这 3 位青年工人爱开玩笑，在他们回答的 3 句话中,每人故意说错一句。根据这一线索，你能帮张大妈分析出他们 3 人的年龄吗？

（以上趣题答案详见文末）

图书简介







附答案如下

第 ① 题：只许添加号

1+2+3+4+5+6+7+8+9=45 ，与所要求的 99 相差 54 。如果去掉一个加号，例如 2 与 3 之间加号去掉，2+3=5 就变成 23 ，可以增加 18（即 2×9 ）。4 与 5 之间加号去掉，可以增加 45-(4+5)=36（即 4×9 ）。

一般来说，数字 a 与 a+1 之间加号去掉，将增加 10a+(a+1)-[a+(a+1)]=9a 。

因此数字 6 或那些和为 6 的非相邻的数字后面的加号去掉就可增加 54 。

共有三个解答：

6 与 7 之间不添加号，得解答 1+2+3+4+5+67+8+9=99 ；

2+4=6 ，2 与 3 、4 与 5 之间不添加号，得解答 1+23+45+6+7+8+9=99 ；

1+5=6 ，1 与 2 、5 与 6 之间不添加号，得解答 12+3+4+56+7+8+9=99 。

第 ② 题：插入符号

(1) 7 个数相加，最多只有 42 ，还有两数的乘积不能小于 100-42=58 ，只有 8×9=72 符合，这个算式是：

1+2+3+4+5+6+7+8×9=100

(2) 插入“2 减 1 加”三个符号，就把 9 个数字分成四段，成为 4 个数，其中一定有一个三位数，由于最后结果是 100 ，三位数只能是 123 ，其他 3 个数一定都是两位数。

而且，两个减数之和 - 加数 = 123-100=23 ，只要注意个位数是 3 ，只有 5+7-9=3 ，就能列出算式：

123-45-67+89=100

(3) 在 (2) 的基础上只要把 45 前面变为“+”号，就增加 90 ，而 8 与 9 之间添“-”号，89 就变成 -1 ，恰好整个算式得 100 。算式是：

123+45-67+8-9=100

第 ③ 题：别致的画廊

按照下列顺序走：

A→B→C→A→L→C→F→J→H→I→J→K→F→L→K→I→G→H→F→D→G→E→D→C→E→B。

第 ④ 题：猴子跳树桩

7 棵树桩，只有一棵空着，猴子只能利用空树桩来腾地方。到底哪只猴子往空树桩跳好呢？

很明显，号码小的猴子应尽量越过一只号码大的猴子往左面空树桩上跳，号码大的猴子应尽量越过一只号码小的猴子往右边空树桩上跳。不能按照上面的办法进行时，才由一只猴子跳到相邻的一棵树桩上，腾出空树桩为继续跳越作准备。

用这样的思路跳，跳的次数一定最少。

具体的跳法是：

5,3,1,2,4,6,5,3,1,2,4,6,5,3,1,2,4,6,5,3,1

第 ⑤ 题：一句话里 3 个问题

第一个问题最容易回答，张洪年龄最大。谁的年龄最小不好回答，只有先知道王强和李勇现在的岁数是几比几，才能回答。

这道题，既有现在的年龄，又有未来某一年的年龄。3 个人的 2 种年龄，共 6 个数，都不知道具体数字，很容易把人弄糊涂了。

做数学题,最重要的是整理思路。为了便于思考,先把 3 个人现在的年龄用字母来表示：

张洪为 a ，王强为 b ，李勇为 c 。

再假设 x 年以后，王强达到张洪现在年龄。那么，x 年以后，3 个人的年龄是：

张洪 a+x ，王强 b+x ，李勇 c+x 。

现在，分析题意就方便多了。先看王强与张洪的年龄关系是：

b+x=a

再看张洪与李勇的年龄关系是：

a+x=2(x+c)

化简：

a=x+2c

比较两个式子得到：

b+x=x+2c

b=2c

因此，王强现在的年龄是李勇现在年龄的 2 倍，即 2∶1 。同时也回答了李勇年龄最小。

第 ⑥ 题：两筐苹果

从第一筐拿 9 个到第二筐，两筐的苹果一样多，说明原先第一筐比第二筐多 18 个。

从第二筐拿 12 个到第一筐，那么，第一筐又比第二筐多了 24 个，加上原先多 18 个，共比第二筐多了 18+24=42（个）。

多 42 个后，第一筐的苹果是第二筐的 2 倍，也就是说，第二筐还剩 42 个，原先是 42+12=54（个）。

因此第一筐有苹果 54+18=72（个），第二筐有苹果 54 个。

第 ⑦ 题：从桶外到桶内



第 ⑧ 题：猜年龄

按照上题的办法，先假设小刘说的“我 22 岁”是真实的，再来判断假设是否成立。

如果小刘说的“我 22 岁”是真实的话，小李说“小刘是 23 岁”就不真实了。因此，小李另外两句应该是真话，从“小陈比小刘大 3 岁”就推出小陈是 25 岁；从“我比小刘年纪小”就推出小李小于 22 岁。可是这样一来，小陈说的三句话中“小李和我差 3 岁”和“小李是 25 岁”这两句话都不能成立，这与题目的前提（三句话中有两句是真实的）矛盾。因此，小刘说“我 22 岁”是不真实的。

现在就能断定小刘的后两句话是真实的。由此，小李说“小陈比小刘大 3 岁”是不真实的，小李的前两句话却是真实的，另外也知道，小陈说“小李是 25 岁”是不真实的，小陈的前两句话是真实的。因此得出，小刘是 23 岁，小陈是 25 岁，小李是 22 岁。