\(\lim_{n\to\infty}\big(\frac{\sqrt[n]{a}+\sqrt[n]{b}+\sqrt[n]{c}}{3}\big)^n\).

elim

题：设 \(a,b,c>0,\) 求: \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\bigg(\frac{\sqrt[n]{a}+\sqrt[n]{b}+\sqrt[n]{c}}{3}\bigg)^n\).

ysr

当a>1,b>1,且c>1,或者a(1/n)+b^(1/n)+c^(1/n)>3时，是没有极限的。

ysr

当a=1,b=1,且c=1,或者a(1/n)+b^(1/n)+c^(1/n)=3时，极限是1.
0<a(1/n)+b^(1/n)+c^(1/n)<3时，极限应该是0.

12306

这是一道比较常见的题型

elim

谢谢楼上先生(怎么称呼?)的解答. 这个题目的确较平常，是下面这个极限的变形：\(\because\;\;\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\ln(a_1^x+\cdots +a_k^x)-\ln k}{x}=\frac{\ln(a_1a_2\cdots a_k)}{k}\) 对
\(\qquad\displaystyle f(x)=\frac{\ln(a_1^x+\cdots +a_k^x)-\ln k}{x}\) 有
\(\qquad\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(\frac{\sqrt[n]{a_1}+\cdots+\sqrt[n]{a_k}}{k}\right)^n=\lim_{n\to\infty}{\large e^{f(\frac{1}{n})}}={\large e^{\frac{\ln(a_1\cdots a_k)}{k}}}\)
\(\qquad = \sqrt[k]{a_1\cdots a_k}\;\;(a_j>0,\,j=\overline{1,k},\;k\in\mathbb{N}^+)\)

ysr

谢谢楼主和这位朋友的解答！

elim

elim 发表于 2022-8-24 20:39
谢谢楼上先生(怎么称呼?)的解答. 这个题目的确较平常，是下面这个极限的变形：\(\because\;\;\displaystyle ...

五楼 \(\displaystyle\lim_{x\to 0} f(x)\) 可用 L'Hospital 法则轻易求出。

luyuanhong