求级数之和 ∑(n=1,∞)[Hn-lnn-γ-1/(2n)]，其中 Hn=∑(k=1,n)1／k，γ 是 Euler 常数

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一道级数题

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自问自答,这里用到了斯特林公式

elim

题：计算 \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\left(H_n-\ln n-\gamma-\frac{1}{2n}\right)\)
解： \(\displaystyle\sum_{k=1}^n\left(H_k-\ln k-\gamma-\frac{1}{2k}\right)=\sum_{k=1}^n\frac{n-k+1}{k}-\ln(n!)-n\gamma-\frac{1}{2}H_n\)
\(\qquad\displaystyle=nH_n-(n-H_n)-\ln(n!)-n\gamma-\frac{1}{2}H_n\)\
\(\qquad=(n+\frac{1}{2})H_n-n-n\gamma-\ln(n!)\)
\(\qquad=(n+\frac{1}{2}）(\ln n+\gamma_n)-n-n\gamma-\ln n!\)
\(\qquad\sim n\ln+\frac{1}{2}\ln n+n(\gamma_n-\gamma)+\gamma_n/2-n-\ln\big(\sqrt{2\pi n}{\Large\frac{n^n}{e^n}}\big)\)
\(\qquad\longrightarrow\Large\frac{\gamma+1-\ln(2\pi)}{2}\)


由于楼主假定(\(n(\gamma_n-\gamma)\to 0\)), 我这个解与楼主的解有一点差别。

elim

楼上计算使用了 Stirling 公式 \(n!\sim \sqrt{2\pi n}\dfrac{n^n}{e^n}\)

luyuanhong

楼上 elim 的解答很好！已收藏。