记\(\gamma_n=H_n-\ln n,\,\gamma=\lim \gamma_n\)则\(n(\gamma_n-\gamma)\to 1/2\)

elim · 发表于 2022-8-27 01:14

本帖最后由 elim 于 2022-8-26 12:14 编辑

题：记 \(\gamma_n=H_n-\ln n,\,\gamma=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\gamma_n,\) (Euler Gamma)
\(\qquad\)试证 \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}n(\gamma_n-\gamma)=\frac{1}{2}.\;\;(H_n=\sum_{k=1}^n\frac{1}{k})\)

elim · 发表于 2022-8-27 04:37

elim · 发表于 2022-8-27 04:44

本帖最后由 elim 于 2022-8-26 21:05 编辑

1) 楼上计算用到了 L'Hospital 法则.
2) 这个结果刻画了\(\gamma_n\to\gamma\) 的具体方式 \(\gamma = \gamma_n -{\small\dfrac{1}{2n}}+o(1/n)\)
3) 关于\(\gamma\)参见 wiki 词条

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记\(\gamma_n=H_n-\ln n,\,\gamma=\lim \gamma_n\)则\(n(\gamma_n-\gamma)\to 1/2\)

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