如果事件A与B相互独立,简便的方法证明A非与B非也相互独立？

wufaxian

之所以强调简便的方法是因为下图红线的部分似乎暗示用 A与\(B^{c }\)互相独立的结论可以简便的证明\(A^{c }\)  与 \(B^{c }\)互相独立。我在网上看到的证明和我自己的推论都 没有用到“A与\(B^{c }\)互相独立的结论”。所以如何利用“A与\(B^{c }\)互相独立的结论”来证明“\(A^{c }\)  与 \(B^{c }\)互相独立。”？

网上的方法：
P(AB)=P(A)P(B)
P(非A非B)=P(非(A∪B))=1-P(A∪B)
=1-[P(A)+P(B)-P(AB) ]
=1-P(A)-P(B)+P(A)P(B)
=[1-P(A) ][1-P(B) ]
=P(非A)*P(非B)
所以命题成立

我的推导：
\(P\left( A^c\mid B^c\right)=\frac{P\left( A^c\cap B^c\right)}{P\left( B^c\right)}=\frac{1-P\left( A\cup B\right)}{P\left( B^c\right)}=\frac{1-\left( P\left( A\right)+P\left( B\right)-P\left( A\cap B\right)\right)}{P\left( B^c\right)}=\frac{1-\left( P\left( A\right)+P\left( B\right)-P\left( A\right)P\left( B\right)\right)}{P\left( B^c\right)}\)

\(=\frac{1-\left( P\left( A\right)+P\left( B\right)\left( 1-P\left( A\right)\right)\right)}{P\left( B^c\right)}=\frac{1-\left( P\left( A\right)+P\left( B\right)P\left( A^c\right)\right)}{P\left( B^c\right)}=\frac{1-P\left( A\right)-P\left( B\right)P\left( A^c\right)}{P\left( B^c\right)}=\frac{P\left( A^c\right)-P\left( B\right)P\left( A^c\right)}{P\left( B^c\right)}\)

\(=\frac{P\left( A^c\right)P\left( B^c\right)}{P\left( B^c\right)}=P\left( A^c\right)\)



原题图片