生活中的“家常便饭”——数的表示方法

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生活中的“家常便饭”——数的表示方法

作者 : 林华展



暑假里，我饶有兴致地看着一本书，而这本书，便是日本作家远山启写的——《数学女王的邀请 : 初等数论入门》。而其中的第三章——数的表示方法，令我记忆深刻。

其实，早在五千多年前，世界就诞生了第一个文明——华夏文明。而人民最早的记事、记数方式，便是“结绳记事”（如图 1）。这是古人摆脱时空限制记录事实、进行传播的一种手段之一，它发生在语言产生以后、文字出现之前的漫长年代里。而虽然这提供了记忆方法，但当时的单位并不怎么统一（如图 2），导致了一些重要信息的错误记载。幸好，公元三世纪，一位古印度的科学家发明了数字。那为什么叫“阿拉伯”数字呢？其实在两百年后，团结在伊斯兰教下的阿拉伯人征服了周围的民族，建立了东起印度，西从非洲到西班牙的阿拉伯帝国。



后来，这个伊斯兰大帝国分裂成东、西两个国家。由于这两个国家的各代君王都奖励文化和艺术，所以两国的首都都非常繁荣，而其中特别繁华的是东都--巴格达，西来的希腊文化，东来的印度文化都汇集到这里来了。阿拉伯人将两种文化理解消化，从而创造了独特的——阿拉伯文化。

大约 700 年前后，阿拉伯人征服了旁遮普地区，他们吃惊地发现:被征服地区的数学比他们先进。于是设法吸收这些数字。正由于数字从阿拉伯兴盛并且阿拉伯人对数学研究的确作出了很多的历史贡献，便叫“阿拉伯数字”。



而在这以前的欧洲人民，只会用身体部位计数，非常麻烦。有没有什么更便利的计数方式呢？于是，“十进制”就随之诞生。

所谓“十进制”，是指一种“每数到十个，就捆成一捆”的计数方法，如果将一个小立方体看做“1”，那么表示出来将会这样（如图 4）。

这时不难发现一个点：自然数是无穷无尽的。无论一个自然数有多大，只要我们耐心地不断累加 1 ，最终一定能得到它（如图 5）.



正如古人所说：“千里之行，始于足下。”如果想一目了然地观察自然数，我们可以尝试把它们排列到一条间隔均为 1 的射线上。(如图 6)所示，射线的左端为 1 ，向右则是无限延伸的。

这就是我们目前在用的数的名称体系，不过它也存在缺陷。这迫使我们在数增长十倍时创造出对应的计数单位。这样计算起来很麻烦，比如我们无法快速计算出“七百八十六”加“二百五十五”的结果。有没有什么方法克服用汉字表示的缺陷呢？这时，阿拉伯数字登场了。





但现在来说，还有许多种进制，最常用的有二进制、八进制和十六进制，若设进制数为 z ，那么 z 进制的数为“逢 z 进一”。如果 z＞10 ，那么以 z=16 为例，各个数代表字符：



这不是生活中常用的方法，却在科学、军事、医学上发挥着重要的作用。但怎么互相转换呢？其实十进制转 z 进制可以用“除 z 取余，逆序排列”方法。这样的方法在一开始令我震惊，但现在渐渐理解了，其实也不难，只要这样计算就可以了（如图 8）：



而十进制转 z 进制则更为简单，用的是“按权相加法”（如图 9），只要把各位数拆后处理再相加即可。

二进制是个巧妙的计算方法。为什么呢？ 这时候，乘法可不用再背乘法表了。例如计算 13×19 ，而且 19 = 2^4+2+1 ，13×19 = 13×(2^4+2+1) = 13×16+13×4+13×1 = 208+26+13 = 247 ，所以 13×19 = 247 。是不是很巧妙啊？

生活中像非十进制类计算的地方还有很多：电子电路采用二进制是最方便的，因此二进制得到了普遍地运用。由于采用二进制会使数字位数变得很长，而十六进制和八进制与二进制之间的互换十分方便，因此程序员经常使用十六进制和八进制，但当前的计算机系统使用的基本上是二进制系统，还有很多例子：三进制：一季度有三个月   四进制：一年有四季度   七进制：一周有七天   九进制：冬天交九，一个交九为九天   十二进制：一年有十二个月；生肖为十二年一轮回......

总而言之，万物都离不开数，而从数里延伸出的进制，则优点更加明显，为人们提供了便利，让人们从中受益。数学之美令人折服，期待它带给我们美好的未来!