关于毕达哥拉斯定理适用蒙特卡罗方法验证的探讨

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关于毕达哥拉斯定理适用蒙特卡罗方法验证的探讨

作者 : 宋汶谨，贾凤斌

摘要：毕达哥拉斯定理（勾股定理）是毕达哥拉斯重要的数学贡献，是毕达哥拉斯学派所认为“万物皆数”的重要依据，但是颇为遗憾是数学大家毕达哥拉斯却未留下其证明方法。为找寻毕达哥拉斯的证明方法，本文拟从当时的社会实践和数学基础着手，探讨如何适用蒙特卡罗方法来验证毕达哥拉斯定理。

关键词：毕达哥拉斯，勾股定理，万物皆数，圆出于方，蒙特卡罗方法

引言：毕达哥拉斯定理是西方数学界的称谓，在中国被称为勾股定理，它是一个基本的几何定理，指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一，是解析几何的理论基础之一，是物质世界实现数字化的先驱实践之一。

毕达哥拉斯定理（勾股定理）是毕达哥拉斯重要的数学贡献，是毕达哥拉斯学派所认为“万物皆数”的重要依据。据说现在已有500多种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一，但是颇为遗憾是数学大家毕达哥拉斯却未留下其证明方法。为找寻毕达哥拉斯的证明方法，本文拟从当时那个时代的社会实践和数学基础着手，结合现代数学研究方法，从另一视角再度解读古文献，探讨如何适用蒙特卡罗方法验证毕达哥拉斯定理。

一、毕达哥拉斯定理的科学意义

中国古代称直角三角形为勾股形（或称矩），并且直角边中较小者为勾，另一长直角边为股，斜边为弦，所以称这个定理为勾股定理，也有人称商高定理。勾股定理的逆定理是：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形。

勾股定理（以下称勾股定理，或毕达哥拉斯定理）作为一个重要的基础定理，被称为“几何学的基石”，在现代常用于数学证明和数学推理，但在古代社会人们却经常使用勾股定理的逆定理——用数字方法确定直角三角形，据此可以修房造屋，制造各种生产生活用具（设施）。

古人缺乏有效且精确的测量工具和测量方法，因此从古人到现代人，人们习惯使用简单的工具和符号，并结合计算办法来表示和测量复杂物体（或事物）。从远古的结绳记事开始，人们逐渐掌握了少量数字（0 或 1 ，有或无，点或空，点或划）和简单图形（点、直线、圆、三角形、正方形），人们发现通过数字组合能够重现物体（或事物）的结构，并且精确度极高。比如，中国古代盖房子时常用“四分水”、“五分水”表示屋面坡度，可先用勾股逆定理确定平面和直角，再确定水平长度，之后水平长度每增加1米则屋脊高度升高 0.4 米，这样就能简便地计算出四分水屋面坡度，显然这种以数字表示角度的方法，不依赖专用工具，可易地重现同类现象，具有可操作性好和重复精确高的优点——这就是数字化的好处。所以，勾股定理是数字化的先驱实践，是数形结合思想的先导理论。

二、勾股定理的典型证明方法

勾股定理是通过生产实践和观察法发现的，然后用归纳法来验证，限于当时的科学水平和数学手段并无严格的证明过程，因此两个命名者（中国的商高和希腊的毕达哥拉斯）均无严格的证明流传于世。后世数学家均以预设的公理和定理体系为前置条件，才能得到严格的数学证明。

（一）归纳法验证——圆出于方

在我国著名著作《周髀算经》中有记载了一件事，周公问商高曰：“窃闻乎大夫善数也，请问昔者包牺立周天历度——夫天可不阶而升，地不可得尺寸而度，请问数安从出？”商高曰：“数之法出于圆方，圆出于方，方出于矩，矩出于九九八十一。故折矩，以为勾广三，股修四，径隅五。既方之，外半其一矩，环而共盘，得成三四五。两矩共长二十有五，是谓积矩。故禹之所以治天下者，此数之所生也。”



按原来的古文翻译（下面文中，我们将采用另一种古文翻译方式）这段话的意思是：“数是根据圆和方的道理计算得来的，圆来自于方，而方来自于直角三角形。当一条直角边（勾）为 3 ，另一条直角边（股）为 4 ，则斜边（弦）为 5 ”，以后人们就以“勾三，股四，弦五”表示直角三角形。显然，这种选取特定数值来计算直角三角形边长的办法，实际上只能算作验证，而非是具有普适性的数学证明。这种数形结合的方法，实现了数值拟合，可以视为离散量的数字化早期实践，这说明勾股定理的早期证明是验证而非论证——这启迪我们去找寻古人的验证之法。

（二）“图形——面积”两结合证明

勾股定理实质上是以一个三角形、三个正方形来确定它们之间面积关系的，所以证明勾股定理最直接的办法是数形结合，以形定积（正方形面积），这就是赵爽证明法。

三国时期吴国数学家赵爽，通过“勾股圆方图”证明了勾股定理，其证明思路：以 a、b 为直角边（b＞a），以 c 为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于 ab/2 ，把这四个直角三角形拼成如下图所示形状，则大正方形的面积等于 4 个直角三角形加上一个小正方形面积之和，代入并化简即得到结论：c^2=a^2+b^2 。





（三）欧几里德证明——几何方法论证

公元前 4 世纪，古希腊数学家欧几里德，在《几何原本》中证明了勾股定理，该方法虽然比较复杂，但是严谨（以公理和定理为基础），富有逻辑性，是典型的古代论证数学事例，其论证思路是：以全等三角形为媒介，考虑到同底等高的长方形面积是三角形面积的 2 倍，于是得出下图中同色块的面积是相等的（有点抽象，较难理解，但是符合勾股定理的直观描述：两个小正方形面积之和等于大正方形面积）。



（三）割补法证明

汉末年数学家刘徽，使用“割补术”，运用数形关系和几何直观来证明勾股定理，其证明方法如下图：由边长为 a 的红色正方形（朱），和边长为 b 的蓝色正方形（青）采用割补法，构成边长为 c 的大正方形，即可利用面积验证勾股定理。“青朱出入图”在勾股定理几何证明中别开生面，与赵爽勾股圆方图相映成趣，其法富有东方智慧，特色鲜明、通俗易懂。



与这个方法相似，有一个更为简单的图形拼接证明。看前图向后图的变化：在面积相等的两个正方形内移动 4 个阴影区三角形，显然前图中两个白色正方形之和正好等于后图白色正方形，即：c^2=a^2+b^2 。



（四）加菲尔德证明

加菲尔德在 1880 年当选美国第 20 任总统，他于五年前证明了勾股定理，因此也称这个证明方法为“总统证法”，证明思路是：梯形面积等于 3 个直角三角形的面积之和。这个方法简单又直观，但是没有正方形出现，感觉不是在证明勾股定理中几个正方形面积关系（不能直观体现正方形面积——平方数），所以这个方法虽好却不值得提倡——需要改进。



此类证明太多，这里就不再一一列举。

三、毕达哥拉斯的验证之法

世上并无传世的毕达哥拉斯证明之法，保存资料中仅说毕达哥拉斯是以归纳法证明毕达哥拉斯定理，我们判断“毕达哥拉斯证明”应当是观察法结合归纳法，实际上是通过数字统计来验证的（是验证而非证明）。因为毕达哥拉斯学派仅能使用自然数和整数——万物皆数，能够被“数（shǔ）”，必然是自然数（可扩展至整数），但是勾股定理在整数之外是存在无限多个无理数组合，而当时毕达哥拉斯并未掌握无理数规律，所以毕达哥拉斯是无法通过“计数（shǔ）”来证明勾股定理。

毕达哥拉斯认为认为万物皆数，“数”是宇宙的要素，“数”是组成宇宙的基础，按照几何图形分类，可分成“三角形数”、“正方形数”、“长方形数”、“五角形数”等等。毕达哥拉斯学派认为算术与几何学有着密切联系，他们发现鹅卵石或石头可以堆成各种形状的物体，根据这个道理他们可以用圆点（“数”）来组合或表示任意图形（三角形、正方形、圆等），因此毕达哥拉斯可能是把物体抽象化为圆点（这种思想跟古代的原子理论有相似性），用数学化的语言可表示为数字“1”或“0”（空）。据此，我们将模拟毕达哥拉斯学派的计算思路，探讨如何验证毕达哥拉斯定理（勾股定理）。

（一）“万物皆数”和“化圆为方”

那么，毕达哥拉斯是怎么验证毕达哥拉斯定理呢？根据毕达哥拉斯已经掌握“万物皆数”和“化圆为方”的规律，我们判断毕达哥拉斯是把图形通过圆点（或圆球）来组合或分解，以此用圆来表示三角形、或正方形、或长方形。随着，圆点的数量不断增加，图形越来越近似预测值，即可得到验证值，这就符合蒙特卡罗方法分析问题的步骤。（注：有种看法认为“化圆为方”是把“一个圆”通过尺规作图变成面积相等的“一个正方形”，现在分析这个看法有误，因为圆周率 π 是超越数，圆的面积永远是近似值，无法转化有整数值的正方形——这个问题依赖于后世的极限理论可得到近似的结果）。

下面，我们设 a=3 、b=4 、c=5 ，按照“化圆为方”的规律，分别将圆填入正方形，再根据圆的数量来拟合正方形的面积，然后再根据“万物皆数”的办法（这里每个圆对应 1 个计数值），依次数出：Sa 正方形面积由 9 个圆组成、Sb 正方形面积由 16 个圆组成、Sc 正方形面积由 25 个圆组成，结果是 9+16=25 ，正好符合毕达哥拉斯定理的规律：Sc=Sa+Sb ，即：c^2=a^2+b^2 。



先“化圆为方”再“万物皆数”

这种针对毕达哥拉斯定理验证过程的解释方法，也能够解释商高对话：“数之法出于圆方，圆出于方，方出于矩，矩出于九九八十一”，这段古文的意思现在可以理解为：“可用计数“圆或方”的数量有多少的方法，来计算圆和正方形的数量积（面积），其中可用更多的圆（或圆点）来表示正方形，用更多的正方形表示来表示直角三角形，直角三角形的面积可用“计数”和“算术”的办法来计算”。

实际上，“化圆”或“化方”道理都是一回事，就是把复杂的图形转化若干小的圆点或小正方形，然后再计算（或数）圆点或正方形的数量（个数），即：化整为零，计算点的数量，这里面其实包含了微积分学和极限理论的分析思想（牛顿和莱布尼斯早期计算定积分就是用的若干小长方形来拟合物体）。

由此，可进一步推论：边长 a、b、c（斜边）组成的直角三角形，存在边长 a、b、c 的三个正方形，且面积 Sc =Sa+Sb（或记为 c^2=a^2+b^2 ）；或者说，满足边长 a、b、c 的三个正方形，且面积Sc =Sa+Sb（或记为 c^2=a^2+b^2 ），正好能够组成边长 a、b、c 的直角三角形。


用圆来分解或计算正方形（即“化圆为方”）



按这个用自然数计数“数字”（圆，每个圆表示1个“1”）的办法，在自然数 200 以内，我们找到 8 组能够适用自然数的勾股数（随着数值增加，应该有无穷多个）：



随着数字不断变化，我们可得到不同边长的直角三角形，其两个锐角也可以任意调整。总体上，当满足直角三角形边长关系时，前两个小正方形内圆圈的数量之和总能近似等于后一个大正方形内圆圈的数量（虽然可能会出现不是整数的情况，但是数量越大越能趋近相同）。这就是毕达哥拉斯学派所认为的：“万物皆数”和“化圆为方”，他体现了蒙特卡罗方法统计分析思想。

（二）毕达哥拉斯树与“百牛定理”

传说为了庆祝毕达哥拉斯定理的发现，毕达哥拉斯学派杀了一百头牛酬谢神灵，因此这个定理又有人叫做“百牛定理”，这显然是后世谬误，因为据记载毕达哥拉斯是素食者，向来不吃牛肉。不过，根据毕达哥拉斯定理可画出一个可以无限重复的图形，又因为重复数次后的形状好似一棵树，所以该图形被称为毕达哥拉斯树——其实更像一个牛角，据此我们想象可能较为真实的情况是：由于毕达哥拉斯树像一个牛角，而且这个牛角可由具有符合毕达哥拉斯定理计算规律的上百个直角三角形和大小正方形，所以称“百牛定理”。


毕达哥拉斯树——其实更像一个牛角

三、蒙特卡罗方法可以用来近似验证毕达哥拉斯定理

最早人们都是使用观察法和归纳法验证毕达哥拉斯定理（勾股定理），之后东方数学家赵爽用东方人所擅长的数形结合方式证明了勾股定理，西方数学家欧几里德则使用基于公理体系的几何方法论证毕达哥拉斯定理。现在是大数据时代，我们可以采用蒙特卡罗方法用来近似验证毕达哥拉斯定理，由于蒙特卡罗方法是统计分析方法只能得到近似结果——这符合毕达哥拉斯当时的科学环境及他可能遇到困境。

（一）一道传统的物理题

笔者在 1991 年参加过一次初中物理竞赛（其实当时的竞赛题较现在的竞赛题要简单的多），有一道的物理竞赛题：在一幅给定面积的地图中有一块指定的不规则区域，请快速计算指定区域的面积（可自由选择测量工具）？

针对这道题，我的解答是：用剪刀将指定区域剪成若干小块，然后拼接成一块相对规则的长方形，再结合图例计算出面积。这个方法采用几何拼接法也是一种可行方法，但是后来物理老师在讲解答案时说：“这不是正确的物理答案！”，按照解物理题方法，本题答案应当是：用剪刀将指定区域地图剪下来，再用天平秤将指定区域地图和剩余部分地图各自称量，根据两部分的重量之比，求解得出指定区域面积。全班同学大笑，原来本题不是地理题也不是数学题是物理题，只能从物理层面思考，考点是质量和天平秤的使用。


假设地图是由若干微小且均匀的“点”构成



这个有趣的问题影响了笔者 30 年，现在回过头再想：“原来这个地图面积计算其实也是用了蒙特卡罗方法，先用数学方法化解问题，再用蒙特卡罗方法结合物理办法解决问题”。

地图面积问题预先作了假设：地图厚度是均匀的、地图是由若干微小且均匀的“点”构成的，因此我们可以将指定的不规则区域视为若干“点”均匀分布，然后根据采样“点”的数量，再按比例计算出面积。这里面的关键计算环节是：“把两个计算区域的面积关系先转化为点的数量关系，再把点的数量关系转化为质量关系”，这是蒙特卡罗方法的现实应用。

（二）蒙特卡罗方法

蒙特卡罗方法是一种计算方法，也是一种统计分析方法，原理是通过大量随机样本，去了解分析一个系统，进而得到所要计算的值。它非常强大和灵活，又相当简单易懂，很容易实现。对于许多复杂问题（精度可控），它往往是最简单、最快速的计算方法，有时甚至是唯一可行的方法，体现了：“大道至简、大巧若拙、大智若愚”的数学思想和哲学思想。

上个世纪 40 年代，在美国研究原子弹的“曼哈顿计划”中，科学家诺伊曼、乌拉姆和梅特罗波利斯在洛斯阿拉莫斯国家实验室工作时，为解决相当复杂的问题，他们就发明了蒙特卡罗方法来简化计算提高效率。蒙特卡罗方法的名字来源于赌城蒙特卡罗，象征概率。

举一个例子：用蒙特卡洛方法求不规则面积（求定积分），使用投点法。投点法，就是使用足够多的点去撞击图像——尽可能均匀分布，投掷结束后，计数（或计算）不同图像区域点的数量，即可得到结论。


通过计数红点和蓝点的数量关系，即可得到结论

按此方法，有一个函数 f(x) ，若要求计算从 a 到 b 的定积分，其实就是求曲线下方的面积。这时我们可以用一个比较容易算得面积的矩型罩在函数的积分区间上（假设其面积为 S ）。然后随机地向这个矩形框里面投点（尽可能均匀分布），投掷结束后，落在函数 f(x) 下方的点设为绿色，其它点为红色。然后统计绿色点的数量占所有点（红色+绿色）数量的比例为 r ，就可以据此估算出函数 f(x) 从 a 到 b 的定积分为 S×r 。


投点法计算定积分

注意：由于蒙特卡洛法得出的值只是一个近似值，只有当投点的数量足够大时，这个近似值也越接近真实值。

（三）毕达哥拉斯是如何利用蒙特卡罗方法来近似验证毕达哥拉斯定理的？

由于毕达哥拉斯学派的核心思想是“万物皆数”和“化圆为方”，经过分析我们认为：“化圆为方”是指用无数圆点（或圆圈）可以表示（或者数值拟合）不规则物体，“万物皆数”则是把万事万物用无数圆点（或圆圈）来计算（或计数），这正是蒙特卡罗方法的思想精髓。

步骤一：用 10×10 的圆点（100 个圆点）来覆盖毕达哥拉斯定理确定的任意直角三角形及其二个小正文形、一个在正方形。也可用 10×10 的方形（100 个正方形）来覆盖。效果图如下，通过计数圆点个数（或正方形），我们可以大致得到三个正方形的面积比例关系：Sc≈Sa+Sb 。



步骤二：不断加大点阵数量，增加更多圆点（或正方形）来覆盖毕达哥拉斯定理确定的直角三角形和二个小正文形、一个在正方形。效果图如下，通过计数圆点个数（或正方形），我们可以发现三个正方形的面积比例关系越来越趋近毕达哥拉斯定理中直角三角形各边关系：Sc=Sa+Sb（c^2=a^2+b^2）。



根据这个验证结果，我们得到几个结论：

结论一，通过毕达哥拉斯学派和商高原理的核心思想，先“化圆为方”，再“万物皆数”， 我们能够利用现代的蒙特卡罗方法验证毕达哥拉斯定理（勾股定理）。

结论二，由于毕达哥拉斯的计数手段有限，随着图形复杂程度的增加以及体量的增大，不借助强大的计算工具，再也无法进行“化圆为方”和“万物皆数”， 毕达哥拉斯再也无法对该定理（毕达哥拉斯定理）进行大规模验证，特别是不能准确计算：在已知两直角边长度的情况下，精确反推斜边长度。

结论三，达哥拉斯对其学生希帕索斯发现无理数必定是充满仇恨的——他建立在自然数（整数域）的数学基础已经崩塌，他可能因此销毁了他的验证方法。但是，借助现代数学工具和计算机，实际上我们通过构建巨量数据来模拟现实场景，然后用蒙特卡罗方法是可以验证毕达哥拉斯定理（勾股定理）的普适性。

四、毕达哥拉斯是怎样使用实物来验证毕达哥拉斯定理

毕达哥拉斯在未发现无理数之前，使用的是自然数计数，那么这时候毕达哥拉斯是怎样使用实物来验证毕达哥拉斯定理的呢？我们估计毕达哥拉斯是使用圆形的豆子、小石块、湿泥团，基于后世才命名的蒙特卡罗方法来验证毕达哥拉斯定理的。

我们充分发挥一下想象，也许可能毕达哥拉斯是用若干大小相近的豆子作为计数手段来分析和验证毕达哥拉斯定理的，因为古代人有实物（用体积和质量较稳定的物体）来计算和测量的习惯，比如：结绳记事，用贝壳记数，用长角豆树的种子（克拉）表示重量，用珠子来计算数量，用算盘和算筹来计算数字。


撒“豆”测面积



据此，我们来到希腊毕达哥拉斯时代，我们先任意画一个直角三角形，然后以该三角形的直角边和斜边的长度，各画两个小正方形和一个大正方形，再将大小基本一致圆形的豆子（圆形的小石块）均匀撒在上面，之后清理正方形周围的豆子，只对正方形内的豆子进行计数，就得了结果：Sc 的豆子数量（69个）近似等于 Sa 和 Sb 正方形中豆子数量之和（67个），即 Sc=Sa+Sb 。

这个验证过程，随着豆子数量的增加，精度（近似程度）越高，对于一些特殊数字，恰好 Sc 的豆子数量完全等于 Sa 和 Sb 中豆子数量——这就是毕达哥拉斯定理的整数情形。

上述过程就是毕达哥拉斯使用圆形豆子来验证勾股定理的实践过程，这个过程的要点是：先“化圆为方”再“万物皆数”，即先把物体模拟成若干圆点，再对圆点进行计数。

如果不用圆形豆子，改用可以任意手捏的湿泥团——做一个捏泥巴的游戏，也可达到相同的效果。我们可以先把一块湿泥团（泥巴，或用油泥），分别填入两个以直角三角形的直角边为边长的两个小正方形，然后再把两个小正方形内的湿泥土，又放入以直角三角形斜边长度为边长的大正方形中（厚度一致），这时我们会发现两个小正方形内的泥土恰好能够放入大正方形中，即 Sc=Sa+Sb 。这个办法因为泥土很细，颗粒很小（圆点数量特别大），模拟效果更好，是典型的蒙特卡罗方法结合大数据，来验证毕达哥拉斯定理的好办法。

所以，毕达哥拉斯认为“万物皆数”，“数”就是圆点、就是组成万物的基本单元，因此可以使用圆点（“数”），相当直观的演示和验证勾股定理的正确性（注意：只是验证而非数学论证）。

再进一步，当我们把一个眼睛看上去很清晰的图像放大之后，我们会发现，其实这个图像是由若干“点”构成（或是方形的“马赛克”）。这种情况在计算机世界非常普遍，数字计算机的图像都是以正方形（或三角形，也可以用圆点）来表示，这就是我们所说的方块世界，现在有一个游戏“我的世界”就是用这个原理来表示世界万物的，所以说从统计学和微积分学角度看，在大数据面前，在可感知的世界中，毕达哥拉斯所认为的“化圆为方”和“万物皆数”又是正确的。


清晰的图像放大之后是正方形（或三角形）

五、结论

至此，通过模仿古人的思路，找寻他们当年有限的研究手段，使用现代科学方法，我们用蒙特卡罗方法验证了毕达哥拉斯定理（勾股定理）。我们意识到科学进步是起伏不定的，有反复性。因为研究手段的变化，掌握研究方法的多样化，一些曾经可能认为有误的结论，又可能因新的方法到得到全新结论。因此，本文有以下结论供参考：

（一）毕达哥拉斯定理可以适用蒙特卡罗方法验证，应用豆子、石块和油泥等之实物，可以相当直观的演示和验证毕达哥拉斯定理（如果应用计算机效果更佳）。

（二）西方数学走向科学化的道路是因为他们超越了观察法和归纳法，应用演绎法来扩展研究方向，所以东方世界也应当在归纳法的基础上，尽可能应用演绎法来研究问题，这样我们的工作才能变得更有创新性。

这也解释了，中国古代数学很强大，但是我们固守传统中国数学研究方法，未能引入演绎法，未能引入先进的数学符号（“甲、乙、丙、丁、加、乘”等字符不直观），总是用文言文那生涩的语句表述科学——能读懂的人太少，导致我们数学水平最终落后于西方数学。现在我们终于明白，为什么鲁迅、陈独秀、胡适等人是那么地反对文言文，因为文言文除了生涩难懂外，还存在众多歧义，不适合准确、有效、快速地传递科学思想。

（三）研究现代数学问题，仍然可以应用“点”和“积”的关系来分析问题（假设点为“1”，空为“0”），再用类似蒙特卡罗方法来分析各“点”之间的位置关系、数量关系和逻辑关系，这有利于从底层统一计量尺度和研究方法，找到解决问题的办法。例如，应用“点”和“积”关系来解决实际问题最成功的事例是：冯式计算机的广泛使用，1945 年冯.诺伊曼提出用二进制作为电子计算机的运算进制——非常正确的选择，假设点为“1”、空为“0”，这有利于硬件设计和实现软硬件之间的严格对应，这对简化硬件设计和提高运算效率功不可没，使用二进制及二进制元件也许是现代科学不经意间，对毕达哥拉斯“化圆为方”和“万物皆数”思想的科学拓展。

参考文献：

1、《数学史概论》，李文林，高教育出版社，2021 年 7 月第四版
2、《八年级数学》下期，人教版
3、《蒙特卡罗方法与拟蒙特卡罗方法的历史、现状及展望》，朱辉、刘义保、游运，《华东理工大学学报(自然科学版)》，2010 年 12 月第 33 卷第 4 期
4、《关于蒙特卡罗及拟蒙特卡罗方法的若干问题研究》，雷桂媛，2003 年，浙江大学博士学位论文
5、《毕达哥拉斯定理（勾股定理）》，百度百科
6、《赵爽弦图》，百度百科
7、《周髀算经》，百度百科