222-知道四个点，能否得到最小椭圆？

dodonaomikiki

已知四点坐标
\(       A(-1,0)          \)
\(       B(1,0)          \)
\(       C(0,4)           \)
\(       D(2，2)           \)

dodonaomikiki

再举一个栗子


\(       A(-1,0)          \)
\(       B(1,0)          \)
\(       C(0,4)           \)
\(       D(3，3)           \)

dodonaomikiki

玩玩耍耍从而掌握数学知识

Nicolas2050

你自己不会做？带进一般椭圆的方程去，再求极值

dodonaomikiki

这道题目，再顶上来！

dodonaomikiki

代数方法不晓得，
几何方法，运用作图法，是否有诀窍？有捷径？有巧妙之法？



几何上，不应该运用Nico提出的一般椭圆方程

dodonaomikiki

再支持一哈

dodonaomikiki

妥园一般方程见下

\(          Ax^2+  Bxy+      Cy^2+   Dx+  Ey+  F=0.     \)






\(         再行思考：   \)
1】四点坐标带入上述方程，得到四个方程，
但是也正因为这样，六个未知系数只能“搞出四个”
2】根据椭圆面积公式，
猜想：  六个未知系数进一步“搞出五个”
3】这样，如果笔算不可行，朗格朗日乘子法也无法搬上舞台，
就只能借助某款数学软件，
对椭圆进行拟合从而得到 最小椭圆

creasson

易知， 经过\(A(-1,0), B(1,0),  C(0,4), D(2,2)\)四点的圆锥曲线可表示为:
\[8(5 - 3t){x^2} - 30(1 - t)xy + (5 + 9t){y^2} - 2(5 + 21t)y - 8(5 - 3t) = 0\]
再根据一般椭圆\[a{x^2} + 2bxy + c{y^2} + 2dx + 2ey + f = 0\]
的面积式
\[S = \frac{{|a{e^2} + {b^2}f + c{d^2} - acf - 2bde|}}{{\sqrt {{{(ac - {b^2})}^3}} }}\pi \]
得到本题的面积表示
\[S = \frac{{7200\pi t(5 - 3t)}}{{\sqrt {{{( - 25 + 690t - 441{t^2})}^3}} }}\]
由此求出面积最值
\[{S_{\max }} = \frac{{ - 24559 + {{(1197248878435121 - 84577167360000i\sqrt {2081} )}^{1/3}} + {{(1197248878435121 + 84577167360000i\sqrt {2081} )}^{1/3}}}}{{17640}}\pi  \approx 47.347348\]

dodonaomikiki

creasson 发表于 2022-9-18 11:12
易知， 经过\(A(-1,0), B(1,0),  C(0,4), D(2,2)\)四点的圆锥曲线可表示为:
\[8(5 - 3t){x^2} - 30(1 - t ...

感谢CR老师


在一个工程学报上，
看到这个图形，然后产生疑问！





经过四个交点，求一个椭圆，
迫使 \(              Area(KLMN)                \)  取得最小值