一个偶然的发现——完全数及其基因构造数列

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一个偶然的发现——完全数及其基因构造数列

作者 : 刘建

完全数又称为完美数，据说是由古希腊毕达哥拉斯学派的青年学者们发现的。这个学派的观点认为：数是万物的根源，数学的规律既是宇宙的规律。他们注意到：数 6 有一个特性，它等于除自身之外的因数之和，即 6=1+2+3 。他们称这类数为完美数。《几何原本》最早记载了 6 ，28 ，496 ，8128 这四个完美数，并证明了：若 2^n-1 是素数，则 2^(n-1)(2^n-1) 是完全数。

直至西方文艺复兴时期，经过 2000 多年漫长的历史进程，人们又陆续发现了三个完全数，分别是 33550336 ，8589869056 ，137438691328 。

18 世纪后期，著名数学家欧拉找出了第 8 个完全数，2305843008139952128 ，并且进一步证明了若 2^n-1 是素数，则 2^(n-1)(2^n-1) 是所有已知完全数的统一简化式，这就使完全数与梅森素数之间建立了紧密的联系。为寻找新的大素数和完全数开辟新路。近 200 多年来，随着计算机技术的不断发展，人们加快了寻找完全数的步伐。至今为止，历经 2500 多年，人们共找到了 51 个梅森素数，也就是说，人们至今已发现了 51 个完全数。

完全数是非常奇特的数，除了等于自身之外因子之和，还都具有一些特殊的性质。

(1) 完全数都是三角形数，可以表达为连续自然数之和。

(2) 他们都是连续奇数的立方和（6 除外），也都可以表达为 2 的连续正整数次幂之和。

(3) 除 6 以外，它们的数字根——即各位上的数字反复相加，直至变成一位数，这个一位数一定是 1 。

(4) 除了因子 1 之外，每个完全数的所有因子的倒数和等于 1 。

(5) 完全数都是以 6 或 8 结尾的，如果以 8 结尾，那么就肯定是以 28 结尾。

(6) 他们的二进制表达式具有相似的结构形式。

110

11100

111110000

1111111000000

……

另外值得注意的一点是，所有已知的完全数都是偶完全数，是否存在奇完全数还是一个未解之谜。以上所述就是查阅有关资料所能知道的有关完全数的基本知识。

18 世纪的数学家欧拉，用他关于完全数的证明告诉我们。完全数和梅森数有一种紧密的联系，找到新的梅森素数成为发现新的完全数的前提。但是找到新的大素数本身就是有待解决的一大难题。因此，在寻找新的完全数的道路上，步伐艰难而缓慢，只是在近些年，借助快速发展的计算机的威力，才有了一些进展。

2001 年 6 月份，在整理翻阅旧刊物时，从《奥秘》 98 年第 2 期上，看到一篇关于《寻找完全数》的智力题。完全数是什么？如何寻找完全数？作为一个老三届，当年数学学习成绩尚可，回顾历年所学，竟然全无相关。虽然已是知天命之人，但对什么是完全数？如何寻找完全数却一无所知。



在刊物上找到答案后，按照完全数等于除自身之外因子之和的条件验算，结果答案给出的完全数 33550326 ，分解因子出现小数，明显是错误的。

通过对已知 4 个完全数的因子分解排列组合，我很快就找出了第 5 个完全数是 33550336 ，并发现其中的结构性规律，构造出一个具有许多完全数共同性质的新数列。当看到有关资料记载，人们找出第 5 个完全数，历时 2000 多年的史实，我感到了这一发现的意义和价值。经反复学习，不断探索，持续 20 余年，取得了一点可喜的成果。

回顾此事起初，关注完全数纯是好奇心使然。接着就像种豆得瓜，意外收获。本意是寻找完全数，但找出来的却是一个以完全数 6 为首项并具有一些特殊性质的新数列。

6 ，28 ，496 ，8128 ，是《几何原本》最早记载的 4 个完全数，也是这一数列的前 4 项，他们具有一些相同的特殊性质，还都具有一种相似的因子分解排列结构，既其因子分解排列构成了两个项位相等，比数为 2 的等比数列。（附表1）我对此名之为：对称重叠结构。

学过化学的都知道，物质的结构决定其性质，同理：数列的结构也能决定其性质。第 1 个完全数 6 及其因子分解 1 ，2 ，3 ，6 ，就是一个标准的对称重叠结构，1 ，2 和 3 ，6 就是项位相等，比数为 2 的两个等比数列。这种由结构决定的特殊性质，在具有相同结构的数中间，保持，传递，延伸，便形成了新的数列。

首位完全数 6 ，及其因子 1 ，2 ，3 ，6 ，等于自身之外因子之和即 1+2+3=6 ，简洁而优美，使人联想到老子的《道德经》：道生一，一生二，二生三，三生万物。……万物等于 6 吗？……

再看由 1 ，2 ，3 ，6 ，四个数字，两条数列组成的对称重叠结构，又能联想到四个碱基，两条螺旋曲线组成的基因遗传物质。……都会传递其内在性质，都是这样的四，二结构。……难道仅仅是巧合吗？

扯的有点远了，还是回到正题吧。

6 ，28 ，496 ，8128 ，130816 ，2906128 ，33550336 ，536854528 ，……这些数里既有完全数也有非完全数，但因为它们具有许多共同的特殊性质，又都具有因子分解对称重叠结构，便构成了一条新数列——完全数基因构造数列。（附表 2）



这个数列的最简表达式：2^(2n)[2^(2n+1)-1] ，当 n 为自然数列，使该数列与自然数列一一对应，说明其具有无限性。这样，所有的已知的偶完全数都会在此找到位置，将来发现新的完全数也必然会出现在这条数列上。

完全数就像数学森林中散落的珍珠，是十分罕见的，稀少的。欧拉公式已经证明梅森素数和完全数是一一对应的。在完全数基因构造数列上，其因子分解所形成的，多是梅森数，而非梅森素数，即 2^n-1 不是素数，其对应形成的 2^(n-1)(2^n-1) ，也肯定不是完全数。但是这些具有 2^n-1 相同构造的非完全数，就像一根长长的线，把所有的（珍珠）完全数串联在一起，形成了一个完美的数列。

根据完全数基因构造数列。我们可以对现有的完全数相关知识内容进行补充与完善。

(1) 完全数及其基因构造数列都是以 6 或 8 结尾。如果是以 8 结尾，就肯定是以 28 结尾。如果以 6 结尾，则会出现 16 ，36 ，56 ，76 ，96 ，隔位循环的现象。

(2) 除了第一个完全数 6 之外，这个数列上所有的数都是 4 的整倍数，都是除 6 余 4 。

(3) 我们把 2^n-1 这样的数称为梅森数。若 2^n-1 是素数，则称之为梅森素数。在此数列中，因子分解排列所形成的一系列梅森数，其数字根会出现 7 ，4 ，1 循环现象。若为梅森素数，则必定是 6n+1 型素数。

完全数基因构造数列最简表达式，与欧拉完全数公式，表面上看不一样。实质上是相容的，一致的。通过（附表 1）模型，我们可以直观的看到，他们都内含对称重叠结构。不同的是，一个有前提，是梅森素数，对应的是一个完全数。一个无前提，与自然数列一一对应，形成的是一个无限数列。

对于欧拉完全数公式来说，（除了梅森素数对应完全数）若 n 为自然数列，总体结果表现为无序。若 n 为以 3 为首的奇数数列，令人意外惊奇，结果竟然与完全数基因构造数列完全相同。（附表 3）



自然数列与奇数数列，各自分别与完全数基因构造数列一一对应。这既证明了其具有无限性，也说明了其存在的必然性与合理性。

这样由 4 个完全数开头，内含对称重叠结构，具有多种共同特殊性质的无限数列，是前所未闻的。通过所附的图表和模型，我们可以看到数字世界的有序与完美。这里有对称与平衡，有渐变与突变。有像细胞分裂一样的数字，还有类似基因遗传的现象。

基因遗传是生命世界的特有现象，高度抽象的数字世界也有遗传现象吗？……

在无机化学向有机化学发展的过程中，人们认识到分子的结构对化学性质的影响。“分子结构式不但表示原子的数目，而且表示各种原子在分子中的排列次序和结合关系，其组成的结构和其化学性质紧密相连”。

同样道理，这里看到的就是：各种因子在数列中的排列次序和结合关系，与其保持的完全数特殊性质紧密相连。在这里结构对性质的作用是决定性的。

他有实际用途吗？当然有，检测计算机的计算能力并多种验算，直接可用。

另外直感：编制各种密码的方法又多了。……

最后：向给予启迪、指正的张涤非，给予支持、帮助的朱昌和、季桂林三位友人表示感谢。