【答】为什么，高次方程中的辐角均匀分布呢？

dodonaomikiki

  \(                   x^5+10x^3+20x-4=0             \)
有五个根：
    \(              x=(2^\frac{3}{5}  - 2^ \frac{2}{5}   )  cos \frac{2k \bullet     \pi}{5}  -i  \bullet  (  2^\frac{2}{5}  + 2^ \frac{3}{5}   )    \bullet    \sin \frac{2k  \bullet    \pi}{5}                \)   
     \(         k=0,1,2,3,4            \)

dodonaomikiki

具体展开，
角度明显起来：


        \(            x1=\sqrt[5]{8}-\sqrt[5]{4}               \)


        \(            x2=(  \sqrt[5]{8}-\sqrt[5]{4}  ) cos72^O-i  \bullet        (  \sqrt[5]{8}+\sqrt[5]{4}  ) sin72^O            \)



        \(            x3=(  \sqrt[5]{8}-\sqrt[5]{4}  ) cos144^O-i  \bullet        (  \sqrt[5]{8}+\sqrt[5]{4}  ) sin144^O                 \)



        \(            x4=(  \sqrt[5]{8}-\sqrt[5]{4}  ) cos216^O-i  \bullet        (  \sqrt[5]{8}+\sqrt[5]{4}  ) sin216^O                \)



        \(            x5=(  \sqrt[5]{8}-\sqrt[5]{4}  ) cos288^O-i  \bullet        (  \sqrt[5]{8}+\sqrt[5]{4}  ) sin288^O                \)

dodonaomikiki

配上示意图，就更加明显


72度这个角度，
就这样转过去！






为什么均匀地转呢？
之前，我还木有思考过这个问题！今天，忽然想起

luyuanhong

从下面的方程解法可以知道，这五个解，是作代换 x=y-2/y 后，解 y^5=8 或 y^5=-4 得到的。

因为是在复数范围内开五次方，五个根均匀分布在一个圆周上，所以幅角必定是均匀分布的。

dodonaomikiki

         \(     (x+1)(x-1)=0                        \)


         \(     x1=cos0^O+i  \bullet   sin  0^O         \)
         \(     x2=cos180^O+i  \bullet   sin  180^O         \)

dodonaomikiki

之前，从未考虑初中的方程放到复数域里面去

luyuanhong

因为实数包含在复数中，所以实数解都可以看作是复数解。

一个 n 次方程，如果求实数解，解的个数不一定，可能多可能少。

但是，如果求 n 次方程的复数解，则解的个数必定有 n 个。