用条件期望求几何级数期望值的问题

wufaxian

黄皮《概率论导论》2.6.3
请看下方截图，利用全期望定理分成两种情况来求几何级数的期望值。特别注意“假定每次成功与否与以前的历史记录相互独立”
于是有如果第一次失败(X>1)时有：E(X|X>1)=1+E(X)。  
这里重点说一下我对这里为什么会有个1 出现，因为这关系到后面我的一个疑问。

在假定第一次失败这个条件下“总”期望值E(X|X>1)有两部分组成，
第一部分失败的一次，这不需要利用任何概率知识计算，他的期望就是1，因为他已经发生了！
第二部分是失败一次后，后续平均需要多少次才能成功。因为“假定每次成功与否与以前的历史记录相互独立”，所以第一次失败，对后续“平均”需要多少次才能成功没有影响。因此后续成功的期望值仍然是E(X)。

而由于现在是在已经失败一次的前提下讨论问题，因此要将这两部分求和。因此E(X|X>1)=1+E(X)。


如果我以上的理解正确，那么同样的思路考虑截图的下半部分，\(E（X^2\left| X>1）\right|\)  。同样无论你是求\(E\left( X^2\right)\) 还是\(E\left( X^3\right)\) 或是\(E\left( X^n\right)\)。有都可以按照上面的思路将问题分成两部分。
第一部分失败的一次，这不需要利用任何概率知识计算，他的期望就是1，因为他已经发生了。1的n次方还是1
第二部分是失败一次后，后续平均需要多少次才能成功。因为“假定每次成功与否与以前的历史记录相互独立”，所以第一次失败，对后续“平均”需要多少次才能成功没有影响。因此后续成功的期望值仍然是\(E\left( X^2\right)\)。

而由于现在是在已经失败一次的前提下讨论问题，因此要将这两部分求和。因此\(E\left( X^2|X>1\right)=1+E\left( X^2\right)\) 才对啊。但是显然这个结果与书中结果不一样。

那么我错在哪里了呢？是上面下划线部分理解错了？还是下方在考虑X平方期望值时简单套用下划线部分的思路的“应用错误”？




截图：