{a(n)} 满足 a(1)=2／3，a(n+1)=a(n)^2／√[4a(n)^2+1]，证明：a(1)+a(2)+…+a(n)＜1

llshs好石

liangchuxu

向等比数列求和靠拢。

uk702

由于 \( a_2 = 4/15 > 2/9 \)，导致2楼的解法有一点点问题，但就是这一点点问题，就让我没招了。

易知 \( a_{n+1}=\frac{{a_n}^2}{\sqrt{4{a_n}^2+1}} < {a_n}^2 \)
经计算，\( a_2 = 0.2666....=\frac{4}{15}, \ a_3 = 0.062745098 = k \)
\( a_4 < a_3^2 = k^2 \)，
\( a_5 < a_4^2 < k^4 \)，
\( a_6 < a_5^2 < k^8 < k^6 \)，
\( a_7 < a_6^2 < k^{16} < k^8 \)，
∴ 原式 \( < a_1 + a_2  + a_3 + k^2 + k^4 + k^6  + k^8 + ... = a_1 + a_2  + a_3 +  \frac{k^2}{1-k^2} = 1.0000309395 \)

计算表明 \(  a_1 + a_2  + a_3 + a_4 + ... \) 趋于 1 的速度太快，我甚至怀疑将 \( a_{n+1} \) 放大为 \( {a_n}^2  \) 能否解决问题。

liangchuxu

uk702 发表于 2022-9-24 21:30
由于 \( a_2 = 4/15 > 2/9 \)，导致2楼的解法有一点点问题，但就是这一点点问题，就让我没招了。

易知 \ ...

是的，那么从第二项开始应该满足前后两项比值小于1/3？

王守恩

\(\frac{2}{3}=\frac{2}{3}\)

\(\frac{2}{3}+\frac{4}{15}=\frac{14}{15}\)

\(\frac{2}{3}+\frac{4}{15}+\frac{16}{255}=\frac{254}{255}\)

\(\frac{2}{3}+\frac{4}{15}+\frac{16}{255}+\frac{256}{65535}=\frac{65534}{65535}\)

\(\frac{2}{3}+\frac{4}{15}+\frac{16}{255}+\frac{256}{65535}+\frac{65536}{4294967295}=\frac{4294967294}{4294967295}\)
......

luyuanhong

llshs好石

luyuanhong 发表于 2022-9-25 12:24

问题是普通人怎么总结出an的通项公式？这个可不是一般人想得到的。
求和公式又是怎么裂出来的？

liangchuxu

llshs好石 发表于 2022-9-25 15:09
问题是普通人怎么总结出an的通项公式？这个可不是一般人想得到的。
求和公式又是怎么裂出来的？

音乐有乐感，数学有数感。以上专家对数字感受可谓炉火纯青。佩服！

llshs好石

yeyucaiji

llshs好石 发表于 2022-9-25 15:09
问题是普通人怎么总结出an的通项公式？这个可不是一般人想得到的。
求和公式又是怎么裂出来的？

特征方程求根以后就能配凑成等比数列