【答】椭圆相切【别致A】: 2x^2+y^2=几何？

dodonaomikiki · 发表于 2022-10-9 18:07

本帖最后由 dodonaomikiki 于 2022-11-1 13:45 编辑

里面的粉色椭圆
\(5x^2-4xy+3y^2=5\)
外切椭圆【黑色】
\(2x^2+y^2=A\)

提示：\(A \approx 3,82\)且与粉色椭圆外切
求A【请用分数形式表示】

\(A \approx 3,82\)表示：\(A 接近 3,82\)

dodonaomikiki · 发表于 2022-10-9 18:42

也就是，求外面黑色的椭圆方程

dodonaomikiki · 发表于 2022-10-10 14:54

本帖最后由 dodonaomikiki 于 2022-10-10 14:57 编辑

直接解答方程，
估计不行

\( 5x^2-4x\sqrt{A-2x^2 }+3(A-2x^2)=5 \)
\( \Longrightarrow 4x\sqrt{A-2x^2 } +5-3A+x^2=0 \)

dodonaomikiki · 发表于 2022-10-10 15:12

本帖最后由 dodonaomikiki 于 2022-10-10 15:22 编辑

引申出一问题：

过切点的切线，是否是焦点三角形的外角平分线？

dodonaomikiki · 发表于 2022-10-11 20:21

本帖最后由 dodonaomikiki 于 2022-10-11 20:35 编辑

\(       \begin{cases}          5x^2-4xy+3y^2=5                      \\          2x^2+y^2=A \end{cases}          \)
之后运用
1615年出来的\(    Vieta \quad       theorem       \)
\(    （  x \succ0的情况下， \Delta=0） \)

得到
\(    A1=\frac{5(1+\sqrt{33})}{11+3\sqrt{33}} \)
\(    =1,1944 \quad    175 \quad       803 \)
【內】
http://www.mathchina.com/bbs/for ... =2054000&extra=
亦即此题答案

\(    A2=\frac{5(\sqrt{33}-1)}{3\sqrt{33}-11} \)
\(    =3,8055  \quad       824 \quad       197 \)
【外】
也就是本题答案

dodonaomikiki · 发表于 2022-10-11 21:04

大致作图不一定准确，
但尝试一哈，
来解决四楼问题

\(Set: A=3,8 \)
发现红色虚线即角平分线，
与黑色切线不吻合，
答案是否定的

dodonaomikiki · 发表于 2022-10-11 21:54

六楼解答有误
实际上，可以验证四楼猜想正确

cgl_74 · 发表于 2022-10-11 22:33

“四楼猜想正确，六楼解答有误”—-我看了看整栋楼不都是你吗？一个人撑起了整个帖子，玩得挺嗨啊

友情支撑下，消灭他人0回复。这个题就是一个解方程，消去y，并令x^2 = t，就是一个普通2次方程求唯一解的问题。具体解答就略了。总之是正常思路，正常解法，一道可用于考试的普通习题。

dodonaomikiki · 发表于 2022-10-11 22:36

有错误，敬请指出
水平高的大咖

很多的，敬请期待

dodonaomikiki · 发表于 2022-10-12 00:46

cgl_74兄
我们一起讨论数学，努力学习！
上次你令妻烧出来的菜很好洽，非常感谢~~~~~~到你家还拜访去，谢谢款待，颇费啦

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