现实背景的产物——古中国数学名词的诞生

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现实背景的产物——古中国数学名词的诞生

原创 先图 数学经纬网 2022-10-10 21:30 发表于北京

中国古代有过十分灿烂的数学文明，对中国和世界都产生了深远的影响，也自然产生了许许多多的数学名词。中国长期处于封建社会，在农业生产、工程建筑、历律制定等方面，数学有着很强的应用。这些现实问题需要用到大量的几何与代数等方面的知识，而产生的一些数学名词也颇具现实背景。另一方面，受社会文化的影响，一些数学名词又充满神秘色彩，使人好奇。

一  几何学

“几何”在古代是“多少”的意思，所谓“对酒当歌，人生几何”，就是指人生的长短、多少。明末著名数学家徐光启与意大利传教士利玛窦合译《几何原本》，赋予了“几何”一词现代含义。在中国古代进行农业生产，必然要丈量田亩；而兴修工事，又必然离不开土方计算。此外还有很多问题同样需要用到几何知识。

01 平面图形

平面图形的命名多与“田”有关，如：圭田（三角形）、方田（矩形）、箕田（一般梯形）、邪田（直角梯形）、圆田（圆形）、弧田（弓形）、环田（圆环形）等。“圭”本来是古代帝王举行典礼拿的一种玉器，上尖下方。“箕”是二十八宿之一，《诗·小雅·巷伯》中提到“箕星哆然，踵狭而舌广。” 《九章算术》（以下简称《九章》）中关于梯形面积计算公式的描述是：“箕田术曰：并踵舌而半之，以乘正从（zòng）。”“踵、舌”表示箕田的下底和上底，“正从”表示箕田的高。至于方、邪（同斜）、圆、弧、环等都很好理解，用熟知的事物冠以“田”字来表示平面几何图形，体现了数学与农业生产紧密相连。现在我们用“广袤”形容宽阔，然而它还可以表示面积，东西为“广”，南北为“袤”，通过丈量，再利用公式就可以计算出土地的面积了。

《九章》给出了三角形，长方形，梯形等图形的面积公式，但是缺乏证明。魏晋时期刘徽对其进行校注，用出入相补的方法进行了证明。南宋秦九韶创造了三角求积术，与古希腊的海伦公式等价，已知三角形三边长度就能计算出它的面积。而圆田、弧田、环田以及曲面形宛田（球冠）的面积公式，《九章》中采用“周一径三”，结果存在一定误差。刘徽采用“徽率” 157/50  即 3.14 校正，使结果更精确，并且修改了一些公式。后来圆周率经祖冲之推算到小数点后 7 位，领先世界 1000 多年。


图 1 圭田和邪田的出入相补

02 立体图形

堤、沟、渠是水利设施，城、堑（qiàn，护城河）、垣（yuán，矮墙）是建筑或防御工事，它们的横截面都是相等的梯形，都可以表示具体的立体图形。刘徽用出入相补的方法将其转化为长方体，证明了这类立体图形的体积公式是 V=(a+b)hl/2 。

堑堵是将长方体沿相对两棱剖开所得的立体图形，显然 V=abh/2 。沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开，一部分是底面为长方形且一棱垂直于底面的四棱锥，称为阳马；一部分为四面都是勾股形的四面体，叫鳖臑（biē nào）。阳马和鳖臑的叫法似乎和动物有关，刘徽解释“此术臑者，背节也，或曰半阳马，其形有似鳖肘，故以名云”，可知鳖臑这种四面体像肩胛骨，又像甲鱼的脚。然而“阳马”不是真的马，阳马又叫角梁，是房屋四角承檐的长桁条，顶端刻有马形。《九章》指出鳖臑和阳马的体积分别为相应长方体体积的 1/3 和 1/6 ，但是没有证明。刘徽指出，当长方体的三边相等时，有“1 正方体=3 阳马=6 鳖臑”。这种用几个全等的立体拼成一个完整的正方体，从而推出各部分体积的方法叫作棊（同棋）验法。而当 a≠b≠c 时，刘徽借助无穷小分割思想完成了证明。堑堵、阳马、鳖臑的意义在于，中国古代数学家们将它们和长方体作为基本立体，一般直线形立体可以由若干个基本立体的和表示。


图 2 堑堵、阳马和鳖臑

常见多面体还有方亭（正四棱台），方锥（正四棱锥），方堢壔（bǎo dǎo，正四棱柱）。“堢壔”是堤的意思，是一类防水构筑物。还有一些奇怪的名词如刍童、盘池、冥谷、刍甍（méng）、羡（yán，通埏）除，让人丈二和尚摸不着头脑。刍童、盘池、冥谷都是上、下底面为矩形的棱台体，体积公式一致。刍童是草垛；刍甍也是草垛，形状像屋脊，这名词和农业生产息息相关。


图 3 刍童和刍甍

剩下三个名词都是“挖”的工程，盘池是挖的水池，冥谷是挖的大墓穴；羡除是墓道，它是一种三面为等腰梯形（其中两面互相垂直）而两侧面为三角形的楔形体。对于以上这些立体，《九章》都给出了正确的体积公式，刘徽用棊验法证明了特殊情形。对于一般情形，就将它们分解成有限个长方体、堑堵、阳马和鳖臑，再通过求和来证明，刘徽通过这种证明又补充了一些等价的公式。中国古代的多面体体积理论，由《九章》提出公式，刘徽补充证明，基本已经完备了。


图 4 羡除

除了多面体，古代还可以计算一些圆体体积。圆柱、圆台在《九章》中被称作圆堢壔、圆亭。圆柱还被称为圆囷（qūn），囷是圆形的谷仓，属于建筑物；堢壔即堤坝属于构筑物，不管是囷还是堢壔，本质都是建筑。对于圆柱、圆锥、圆台的体积，和平面图形一样存在圆周率粗糙的问题，有了徽率之后结果精确了许多。至于球，《九章》中称作“立圆”，刘徽称之为“丸”。《九章》中球体积与直径的关系是不正确的，刘徽首先指了出来，并设计出“牟合方盖”，打算先算出牟合方盖的体积再换算成球体积，可惜没能成功，到南北朝时祖暅则彻底解决了这个问题。

二  代数学

中国古代在代数方面取得的成就斐然，如《九章》中的方程术、正负术、开方术等都属于领先的学问。宋元时期中国古代数学达到另一个高峰，不仅发展了《九章》中的开方术等，还创造性地发明了一些代数符号记法，其中“天元术”和“四元术”是伟大的实践，是中国古代代数学最重要的成就之一。

“天元术”相当于列出一元方程，相传天元术由北宋洞渊大师李思聪首先提出，起初用“仙、明、霄、汉、垒、层、高、上、天、人、地、下、低、减、落、逝、泉、暗、鬼”十九个字表示未知数的幂次，“人”为常数项，“人”之前九个字表示正幂，后面九个字表示负幂。后来经过进行简化，用“天元”、“地元”分别表示未知数的正幂和负幂，用“太”表示常数项。金元数学家李冶对其进一步简化，只用一个“元”字表示未知数的一次幂。

例如方程 x^3 + 336x^2 + 4184x + 2488320 = 0 就可以用下图表示。


图 5 天元术表示的方程

天元术被元代朱世杰推广，可以求解四元高次方程组，这就是“四元术”。四元术以“天”“地”“人”“物”来表示四个不同的未知数，如《四元玉鉴》卷首某题的解法是，“立天元一为勾，地元一为股，人元一为弦，物元一为开数”，相当于根据题意，设勾为 x ，股为 y ，弦为 z ，开数为 w ，然后列出方程。四元术是用算筹在相应的位置上布置该项的系数，得到一个方程组，然后灵活运用消元法得到一元方程，最后用开方术求解方程。


图 6 四元布列

开方术是一种求一元方程数值解的方法，《九章》就已经记载了开平方和开立方的程序。南宋秦九韶汲取前人经验，提出正负开方术，方程系数不再限于之前的正数，将高次方程数值求解发展到十分完备的地步。有趣的是，秦九韶将奇次幂系数为零的一元高次方程称为“开玲珑某乘方”，当最高项系数绝对值不为一时称为“开莲枝某乘方”。在正负开方术程序中，如果方程经线性变换后常数项符号不变且绝对值增大，就称为“投胎”；如果常数项由负变正，则叫“换骨”。

数学用词上出现很多的道家术语，与宋元时期道教盛行不无关系。同样具有代表性的，北周数学家甄鸾笃信佛教，在他的著述中有很多佛教语言。严格来说，天元术和四元术是分离系数法的伟大成就，而非引入独立的未知量符号。同时因依赖于算筹布置，而平面上最多有上下左右四个方向，因此发展到四元术之后就很难再有进步了。此外王朝更迭，后续统治者的冷漠态度，也阻碍了天元术和四元术的传承和发展。

三  总结

从以上提到的一些数学名词来看，单读起来有的贴合实际，有的又远离现实，充满神秘主义色彩。刘徽在《九章算术注》序开篇写道，“昔在庖犠氏始画八卦，以通神明之德，以类万物之情，作九九之数，以合六爻之变。”事实上，在某种程度上可以将中国古代数学的作用概括为“通神明”和“类万物”两个方面。尽管中国古代一些数学家做了“通神明”的尝试，但还是改变不了数学经世致用的大体趋势，数学终究要回归到现实生产与生活。

尽管列举了一些数学名词概念，在浩瀚的典籍面前毕竟是冰山一角，还有很多词语未曾提到甚至未曾知晓。明末开始，一些国外的数学词汇被陆续翻译进来。辛亥革命后，在政府和众多数学工作者的努力下，我国的数学名词日趋规范完善。例如中国数学会第一次名词审定，确定了“数学”（mathematics）这一学科译名。而随着我国数学的飞速发展以及科学技术对数学的需求，现代数学名词将更趋完善。

参考文献

[1] 郭书春.中国古代数学.北京:商务印书馆,1997.

[2] 李文林.数学史概论(第三版).北京:高等教育出版社,2011.

[3] 钱宝琮.中国数学史话.北京:中国青年出版社,1957.