什么是代数数论？

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什么是代数数论？

从费马大定理开始，一副关于整数的画卷徐徐展开，这就是代数数论。300 余年过去，我们仍望不到尽头，反而看到了更宽广的世界。

撰文 | 张和持

费马的神奇发现




图 1 费马

代数数论的诞生要追溯到 费马（Pierre de Fermat，1607-1665），他被认为是近代数论的奠基人。作为一个从未发表过关于数论著作的数论学家，费马关于数论的工作得以流传下来很大一部分归功于他在丢番图（Diophantus of Alexandria）的《算术》（Arithmetica）一书中的评注。如果直接去看这 48 条评注，你可能会觉得它们都是一些孤立的命题，而费马当时所用到的论述也并没有超出初等数学的范畴——毕竟“群环域”都是 19 世纪的产物。那为什么这还是叫作“代数”数论呢？




图 2 高斯整数中的“素数”分部




图 3  x^2-2y^2=1 的解

像这样的命题还有不少，可以说费马的眼光确实独具一格，这也是为什么即便他的很多命题都没有留下证明，仍有诸多后人希望从他的笔记中理解其思想。经过欧拉（Leonhard Euler，1707-1783）等人的努力，到了 19 世纪，这些命题中的大部分都得到了严格证明，除了最后一个——费马大定理，英语中称之为“费马的最后定理“。

库默尔的尝试




图 4 库默尔



戴德金的抽象理论

戴德金的数学思想非常超前，比如他给出的实数定义（戴德金分割）在今天仍然是大一学生必须掌握的。但是在一百多年前，数学家们尚不能接受无穷集合的概念，可想而知，戴德金的数学对于大多数人而言就过于抽象了。不过历史证明，正是这些抽象的理论把数学带到了 20 世纪。


图 5 戴德金

戴德金发现，库默尔的理想数其实并不是一个数，而是环的一个子集。我们接下来就来概述一下这套抽象理论，读者可以记住最典型的例子。



身后的世界

以上内容大概就是经典代数数论在 19 世纪取得的主要成果。数学家们非但没能就此解决费马大定理，反而提出了更多的问题，比如：如何得到理想类群的结构？如何计算类数？库默尔等人的研究还涉及到 p 进数，ζ 函数等概念，它们直到今天仍然换着花样让数学家们掉头发。而环论与理想所带来的抽象代数，不仅成就了代数数论的，也带来了现代代数几何。从格罗滕迪克（Alexander Grothendieck，1928-2014） 开始，代数几何学家们考虑的几何对象甚至不一定是代数曲面，而仅仅是素理想组成的集合。而这套几何语言又反过来滋补数论，以至于今天的数论学家，没有哪个不学代数几何。

费马大定理最终的证明，用到的是椭圆曲线与模形式的对应，这些内容毫无疑问是 19 世纪的人完全无法料到的。而椭圆曲线相关的数学，也为代数数论提供了有力的武器。




图 6  Peter Stevenhagen

Stevenhagen 的猜想最近取得了突破。Stephanie Chan，Peter Koymans，Djordjo Milovic 以及 Carlo Pagano 四人最近证明了上述概率的下确界不小于 53.8% ，这已经是从无到有的突破了。他们用到的工具就包括了前面提到的椭圆曲线，而这项工作很大程度上又受到几年前 Alexander Smith 的启发。这些内容都已经不仅仅是代数数论，而是更加庞大的现代数论中的一环。对于这些新的内容，我们会在今后的文章中向大家介绍。

在今年的秋雨与狂风中，Stevenhagen 教授仍将站上讲台，为荷兰数学生讲授代数数论。他也像库默尔那样，精于计算又熟悉抽象，包括他的讲义也总是会着重于具体的计算方法。这或许是荷兰数学的一个缩影。Koymans 和 Pagano 几年前都曾是莱顿大学的研究生，而 Stevenhagen 和 Lenstra 则是莱顿大学的教授。看到荷兰数学界新人辈出，他们也一定非常欣慰。

参考文献

[1] 加藤和也, 黒川信重, 斎藤毅. 数論 I —— Fermat の夢と類体論.

[2] P. Stevenhagen. NUMBER RINGS.

[3] 冯克勤. 代数数论简史

[4] [Jordana Cepelewicz. Mathematicians Crack a Simple but Stubborn Class of Equations]