设 x 为正实数，g(x)=lim(r→0)[(x+1)^(r+1)-x^(r+1)]^(1／r)，求 lim(x→+∞)g(x)／x

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做个练习，看看有哪些解法。

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补充：这是一个数学竞赛题，并没有非常简单哈！如果发现自己的解法很简单，请多检查下。
另：2楼的做法是错误的。自变量和因变量没有区分清楚。

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我来分享一种解法吧。
1、思路是正常思路，先求g(x)，再用极限方法求值。
2、求极限时，洛必达法则是基础，同时应用来等价无穷大/无穷小的思路来简化运算。
3、用这套方法，基本上本论坛的极限习题都可以通过类似的方法来解决。

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cgl_74 发表于 2022-10-21 03:41
我来分享一种解法吧。
1、思路是正常思路，先求g(x)，再用极限方法求值。
2、求极限时，洛必达法则是基础 ...

检查了下解法：
1、检查出一个错误，对等价无穷大/小使用有误，修改下。
2、还有更简洁的解法。

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简化后的解法：

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liangchuxu 发表于 2022-10-21 11:05
有点没搞懂，请教5楼。谢谢！

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liangchuxu 发表于 2022-10-25 12:23
有点奇怪，我的“错误”解法的结果咋会也是这个结果。

你的中值定理，要注意使用范围和条件。你用得很奇怪，涉及到对定理的理解。
我详细批注了一下。

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liangchuxu 发表于 2022-10-26 04:38
多探讨，对大家有益。

1、我的第一句话，是说r是变量。你当作常数处理，比较奇怪，因为这样做，没有起到化简的作用，变量纠缠在一起。
2、第二句话是说，你非要那样做也不是不行，也可以！但是要记住r是变量，t是x，r这2个变量的函数！如果你这看不出来，好好看看中值定理的推导过程；如果也看不出来，就用简单的方法，举几个例子，试试用相同的x值，不同的r值，看看t是否一样。
3、第3句话就是具体指出你的错误点。而且你没有求出g(x)到底是多少，或者是否存在。如果要继续你那个求证思路，绕了一圈，还是要回头去求解g(x)的表达式。中值定理你生搬硬套，没有起到啥作用。