我们为什么要学好数学

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我们为什么要学好数学



作者 | 李克正（首都师范大学）

来源 | 本文为 2022 年 10 月 15 日李克正教授在中国科学技术大学数学与科学学院华罗庚讨论班新生专场所作报告的文字整理稿

同学们好!

我今天的报告题目是“我们为什么要学好数学”。请不要误以为我要做无聊的说教。

用这样的标题，一是为了应对“数学无用”之类谬论，二是为了说明当今数学的影响之广泛和深刻。

一. 谬论漫天，切勿上当

如果两个人对于“数学”一词的理解大相径庭，那么他们讨论数学简直是“鸡同鸭讲”。但这样的现象实在太常见了。尤其是在网上，经常见到的关于数学的谬论、偏见和教条可谓五花八门，例如:

● 一般人用得着的数学就是加减乘除

● 数学是枯燥的、深奥的、抽象的（甚至说数学是乏味的、无用的、无聊的）

● 数学是存在于天上的纯粹理型

● 数学基础就是初等数学+高等数学+算法+奥数

● 数学是研究数量关系和空间形式的科学

● 数学是对客观现象抽象概括而形成的科学语言与工具

● 因为数学是抽象的，所以学习数学要培养抽象能力

● 数学不是科学

● 数只是人脑子里的东西

● 数学是聪明人的游戏

很多偏见源于不当的教育，而妄谈数学者多半是无知无畏。

陈省身先生说过: “数学是一切科学的基础，数学的训练普遍的有用”。但对于数学有严重偏见的人是不可能理解这两句话的。

同学们选择数学专业，对于数学的偏见应该较少，而将来随着进一步的学习，对于数学的认识会更全面和深刻。不过即使如此，要批驳那些关于数学的谬论恐怕也不容易。

这里只是希望同学们在遇到上面这类“高论”时，不要下意识地接受，以免上当。能够避开各种关于数学的谬论。

二. 同学们将如何学习数学

数学教育有其特有的规律（参看 [4]），不仅学习时间长，应用广泛，而且需要激励兴趣，培养科学的严谨性，因材施教，以及提升科学理念。

数学教育领域有一个共识，就是一个现代人学习数学的历程大体上沿着数学发展史的历程，类似于一个胎儿成长的过程大体上沿着生物进化的历程。胎儿的发育过程大体要经过从单细胞 生物到人类的进化过程，要经过类似原生动物、腔肠动物、脊索动物、灵长类等各个阶段，最后 才长成人类的样子。而学习数学的过程，要先走过有数万年历史的 识数过程，再学习古典（有数千年历史的）代数和几何，再学习更近代的内容，直到费尔马 和笛卡儿建立的解析几何，尔后可以学习微积分及更近代的数学。识数的时间相当长，可能在数学的学习中 占大半，这和数学史上人类识数的时间长是一致的。

因此，判断一般人的数学水平的基本标准是历史的，即看他懂的是哪个时代的数学。

数学的发展不仅是内容的丰富，而且有理念的提升。每个重要的新理念会促进数学的整体发展，影响到很多 数学分支甚至数学以外的学科。在基础数学方面，这样的新理念有：约 400 年前的解析几何，300 多年前的微积分，200 多年前 的线性代数，180 年前的群论，120 年前的拓扑学、数理逻辑、李群，80 年前的整体微分几何、概率论，此后更多，有复几何、模空间、动力系统、算术代数几何、几何分析等等。

由此，学习数学不应仅仅是知识的积累，还应逐步提高哲学理念，如一个一个地上台阶。每上一个台阶，都会对于数学有新的和更深刻的认识，同时也拓宽了对于数学的视野。

小学生所学的自然数，中学生所学的初等代数、初等几何、解析几何都是一个又一个的台阶。同学们在即将学习的微积分、线性代数、复分析、微分方程、实分析、概率论、抽象代数、泛函分析、拓扑学等课程中都要上台阶。还有一些台阶则是要在更高的学习阶段遇到。大多数台阶是在近二百年来产生的，下面选几个做简单介绍。

1. 群论

“群”是 1820 年代伽罗瓦在研究代数方程的一个困难问题时发现的。群论在解决这个难题时的作用充分显示出它的强大，逐渐引起数学界的普遍关注。由此开创了数学的一个全新领域，其历史意义是无论如何估计也不会过分的。

由今天的眼光看来，群的根本背景是物理的运动。在群论产生之前，尽管运动是数学不能回避的一个课题，但 还没有一个系统的和强大的工具。群论的产生不仅使数学有了新的发展方向，而且有了新的理念，从而使群论渗透到数学的其他领域，改变了整个数学的面貌。一个典型的例子 是克莱因的“爱尔兰根纲领”，将变换群看作几何的核心课题；另一个典型例子是索弗斯·李将群论应用于微分方程的研究，产生了李群论。

同时，群论也进入了数学之外的领域，成为物理、化学等学科的重要工具和核心课题。

由此可见，不懂群论的人对于数学的理解，与现代数学实在相距太远，所以难免偏颇。

顺便说一点题外话。“集合”的概念，原本是由于群论的需要而产生的，因为群既不能解释为“数量关系”也不能解释为“空间形式”，只能解释为“集合”。但群是无法回避的，因为它在数学中处于核心地位。由此集合论也就发展起来，进而成为整个数学的一种方便的语言。

一些数学家由此企图将集合论作为整个数学的基础。但是，朴素直观的“集合”概念有一个隐含的巨大漏洞，这个漏洞是哲学家罗素在 1902 年发现的：不能随意将数学对象的类当作集合，否则就会导致悖论。这个发现引发了“数学基础” 的危机，直到 1920 年代建立了集合论的公理系统之后，这个危机才得以解除。但由此也可见不能将集合论作为整个数学的基础。从哲学的角度看，这重提了一个教训：任何科学概念都必须是有界定的。

2. 拓扑学

拓扑学是 1900 年前后以庞加莱为首的法国学派建立的，研究连续变形下的空间整体结构。下面一个例子可以解释整体性和局部性的区别。

球面和环面（图 1）的局部结构是一样的，如果在球面或环面上取一小块（如图 1 中的小圆片），它们的结构都等价于平面上的一小块；但球面和环面的整体结构是截然不同的，如果将球面想象为橡皮的，可以随意拉伸变形，甚至还可以剪开翻个身再按原缝粘回去，那么不管怎样做这样的“拓扑变换”，也还是不能把球面变成环面。用拓扑学的术语说，就是球面与环面不“同胚”。由此可见，即使完全了解了局部结构，仍然可能对整体结构毫无所知。



20 世纪的数学与此前的数学相比，最显著的特点就是整体性。粗糙地说，20 世纪前的数学都是“局部的”数学，即使涉及整体的研究对象（如射影空间），也是采用局部的研究方法。研究整体性的根本方法是从拓扑学的建立开始的。而关于整体结构的研究，是在此前关于局部结构的研究已经相当成熟的基础上产生的。

拓扑学给出数学的一个新的深刻理念，这个理念和各种方法逐渐渗透到数学的其他领域，改变了整个数学的面貌，并且影响到数学之外的学科如物理、化学等。

不懂拓扑学的人，对现代数学也难免有误解和偏见。

3. 整体几何

空间不仅有拓扑结构，而且还有其他结构如微分结构。如上所说，早期微分几何是“局部”的微分几何，但关于整体的问题是有的，只是没有系统的方法和工具。在 1930 年代拓扑学已有了坚实的基础，进一步将其他结构加入应该提到研究日程中来。在解决具体问题中，陈省身做了这一开创性的工作，从此产生了“整体微分几何”。

此后，整体微分几何的理念和方法渗透到数学的其他领域如多复变函数论、代数几何、数论等，改变了整个数学的面貌，并且影响到数学之外的学科如物理等。

4. 几何分析

在 1970 年代，丘成桐在解决卡拉比猜想中采用了硬分析（微分方程的深刻方法和结果），这一新的有力方法可用于解决很多其他难题，从而产生了一个新的学科“几何分析”，这是现代数学中最富有活力且发展最快的领域之一，且影响到数学之外的学科如物理等。

由上面这些例子不难看出，每一个“台阶”都有新的哲学理念。因此，在学习数学时每上一个台阶，数学水平都会有本质的提高，是没有上这个台阶的人所无法相比的。不仅如此，每个台阶一旦上去，终生都不会下来了。例如学懂了解析几何，即使后来其中很多定理都忘了，对于数与形的关系的理解，一生都不会忘。

上一个台阶很难吗？其实未必，因为每个台阶都是始于一个原始的理念，既不深奥也不复杂，更没有上面所说的“聪明人的游戏”。很多人上不去倒是因为心理障碍造成的，具体地说，如果对于数学已经有了成见，那么遇到一个新的理念与成见冲突时，就可能从心理上拒绝接受。

三. 数学对其他学科的影响

很多介绍数学的作用的文章，会介绍数学的应用领域：物理、化学、生命科学、工程、大数据、人工智能、机器人等等。但非专业的读者一般只能肤浅地理解。

我们可以从另一个角度说明数学的作用，就是数学向其他学科的渗透，使得一些原来不很精确的科学变得越来越精确，而且更多的原来算不上科学的学科逐渐成为科学。

在十九世纪中期，恩格斯曾评述了当时数学对于其他学科的影响: 对于物理学是较深刻的；对于化学只是线性方程；对于生物学等于零。今天的情况已经大不相同。群论在十九世纪末就开始进入化学，后来进入化学的更有 几何学（如“手性”）、拓扑学（如扭结理论应用于下面的分子）、表示论（在量子化学中）等等。在生命科学中，基因结构、蛋白质的空间结构等都涉及很深的数学。在科学界已经普遍有了一个理念：精确的科学必须是“定量”的，而不能只是“定性”的。

在复杂的分子结构中发现了扭结，如下图。



近一百多年来，数学的应用派生出很多新的交叉学科，它们原属于数学，但后来独立出去。这样的大学科有十几个：统计学、管理科学、计算机科学、系统科学、非线性科学、 逻辑学、经济学、机器证明、博弈论、编码与密码学等等。我们下面做一点简单的介绍。

1. 逻辑学

逻辑学原来属于文科，那时并没有严格的科学方法。直到大约一百年前，数学的方法进入了逻辑学领域，此后 从根本上改变了逻辑学的面貌（参看 [3]）。

起先是“命题演算”的产生，由此可用数学方法做“零级逻辑”推理。例如现在常见的“推理练习”题都可以转换成数学 运算，而且可以机械化（即用电脑计算解决）。由此还产生了“布尔代数”。

后来进入更深一级的“谓词演算”，实际上一般的数学命题都含有“谓词”（“存在”或“一切”），如加法交换律的准确陈述是“对任意两个数 a,b 都有 a+b=b+a ”；平面几何中的第一条结合公理的准确陈述是“对任意两个点存在一条直线同时经过它们”；lim（n→∞）an=a 的准确陈述是“对任意正实数 ε ，存在正整数 N ，使得对任意整数 n＞N 有 ｜an-a｜＜ε ”。

命题演算和谓词演算形成一个新学科“数理逻辑”。

在今天，数理逻辑已经成为一个范围很广且内容深刻的学科，影响到很多其他领域如纯粹数学、计算机科学等，它本质上是研究逻辑的科学方法。由此，今天不懂数理逻辑的人是没有资格研究逻辑学的。

2. 统计学

统计学原来也属于文科，那时并没有严格的科学方法，所用到的数学很初等。直到 1930 年代概率论奠定基础后，产生了“数理统计”这个新学科，从此统计有了科学的研究方法，从根本上改变了统计学的面貌。

从今天的眼光看来，统计的基本任务是“大数据处理”。由于大数据难以避免“模糊性”，所以概率论是不可或缺的基本工具。但今天统计学中所需要的数学工具远不止概率论。

在今天，统计学的研究者若没有很好的数学素质，是不可能在高端的统计学杂志发表文章的。

统计学的广泛应用使其成为一个很发达的学科。在很多高水平的大学里，统计系不仅独立，而且比数学系大。

3. 运筹学

运筹学可以看作应用数学的一个方面。在很多应用数学问题中有特定的“目标”，例如速度、质量、成本、 效率等，希望对此目标做得尽可能好。在数学中这称为“优化”，它经常可以表达为一个函数的最大值问题。

运筹学广泛应用于工程、经济、城市规划、金融、军事等很多领域，是一个很发达的学科。在今天，很多高水平的大学里有运筹学系（如加州大学的 IEOR），比数学系大得多。

4. 信息科学

“信息”是一个物理对象，但并没有进入古典的物理学。信息科学的建立起源于香农在 1940 年代对通讯的研究。

通讯会遇到噪声干扰，香农寻求一个可以刻画“混乱程度”的物理量，他发现所得到的公式竟与热力学中“熵”的 公式一致，就把它也称作“熵”。多年后经过很多人的研究，终于明白“信息熵”与热力学熵的一致性。由此可见，香农的“熵”揭示了一个深刻的物理奥秘，有极重要的哲学意义。

信息科学也是从数学中派生出来的，公认 1948 年香农发表的论文“通信的数学理论”是信息论的奠基之作。在今天的“信息社会”中，信息科学所起的作用无疑是巨大的。现代信息科学是一个独立学科，但其数学性很强。

5. 控制论

与“信息”相似，“控制”也是一个物理对象，但并没有进入古典的物理学。

一般认为 1948 年维纳发表的《控制论——关于在动物和机器中控制和通讯的科学》一书是控制论的奠基之作。维纳将控制论看作是一门研究机器、生命社会中控制和通讯的一般规律的科学，是研究动态系统在变的环境条件下如何保持平衡状态或稳定状态的科学。这也是有极重要的哲学意义的。

控制论也是从数学中派生出来的。在今天，控制论的思想和方法已经渗透到几乎所有的自然科学和社会科学领域。

泛言之，运筹学、信息科学、控制论等都可以归入“系统科学”这个大类。

6. 编码与密码学

在通讯中常要将字母转换为数字信号，这就是“编码”。编码的方法多而广，例如为了通讯保密故意改编原文（即“加密”），但要使接收者能够再改编回原文（即“解密”）。这方面的发展形成了“密码学”。

编码的作用远不止于保密。另一个重要作用是“纠错”。在通讯中难免出现信号传输错误，采用适当的编码可以减少错误，或在发生错误时自动纠正。在计算机和网络中大量使用编码。

最早的编码可能是由“聪明人”拍脑袋想出来的，但编码的深度发展离不开数学。常用的数学工具有代数、数论、组合学等，但不排除使用其他数学方法。

7. 计算机科学

计算机最早的任务目标是将数学计算机械化，其可能性是建筑在早期的数理逻辑基础之上。由于这个背景，数理逻辑是 今天计算机专业的学生都要学习的基础课。

计算机发明出来以后，在使用中遇到很多新问题，如计算机系统结构分析、计算机可靠性论证等，遂形成专门研究这些问题的一个新学科，即“计算机科学”。

当今的计算机科学是数学、电子科学、信息科学等学科和技术科学的交叉。不过早年的计算机科学是由一些数学家奠定基础的。我国计算机科学的创始人全是数学家。

计算机科学所用到的数学远不止数理逻辑，数学物理的很多工具都要用到，此外还有“离散数学”、代数、拓扑等。

8. 数理经济学

与统计学相似，早年经济学所用到的数学很初等，但 19 世纪有一些经济学家使用了较深的数学，后来他们的工作被称为“数理经济学”。不过现代的数理经济学主要是 1960 年代以后的工作，这些工作所用到的数学相当深。

在今天，经济学的研究者若没有很好的数学素质，是不可能在高端的经济学杂志发表文章的。

9. 博弈论

博弈论始于 1920 年代策墨罗，波莱尔，冯·诺依曼等数学家研究对抗性的游戏，而对策不仅存在于游戏中，也存在于生物行为、经济、军事、政治、社会关系、外交等领域，所以后来有了广泛的应用。

有多位博弈论专家获得诺贝尔经济学奖。

10. 数学机械化

数学机械化起源于机器证明问题，即能否用计算机来证明一个数学定理。1976 年计算机被用来证明图论中的四色定理。不能期待用计算机证明一般的数学定理，但可期望对某个数学领域有一个一般的方法，可以证明限定范围的所有定理。

1970 年代，吴文俊给出了欧几里德几何中一般的标准类型定理的机器证明方法，这可以理解为一大类数学定理可用计算机证明。后来实现的计算机程序，可通过人机对话将问题输入，计算机可自动寻找有关所输入的几何图形的所有定理，并给出每个定理的证明（证明一般较为冗长但人可读，参看 [10]）。具体的实现过程使用符号计算。

数学机械化可使数学证明的工作大为减轻，不需要伤脑筋的工作即可解决。它可以看作一种人工智能。上述机器证明不仅比 AlphaGo 早得多，也强得多（AlphaGo 只能大概率地保证给出解决方案，而上述机器证明能绝对保证给出解决方案）。

迄今为止在其他多个领域也有数学机械化的研究，但尚未在其他领域得到如欧几里德几何领域那样完善的结果。

11. 管理科学

管理原属社会经验领域，并无基本的科学的方法。自 1920 年代后数学家尝试用系统科学的方法研究管理，逐渐产生了管理科学。

我国的管理科学的开创者都是数学家。

12. 非线性科学

“线性”是数学中的一种具有广泛应用的性质，例如在通讯中需要将信号放大而不改变信号的结构，这就是“线性放大”。但另一方面，通讯中的载波、检波等要改变信号的结构，这是需要通过非线性的方法才能达到的。

“非线性”现象在物理学、天文学、地球科学、生命科学等很多学科和公共工程、电子技术等很多应用领域普遍存在，所涉及的问题相距甚远，但在数学上有共性。由此形成一个专门研究非线性的交叉学科。

13. 金融数学

信贷、股票、期货、保险等金融课题的研究离不开数学，而且深入的研究需要相当多的数学工具如微积分、概率论、 组合学、微分方程等等。甚至还用到一些高深的数学工具，例如山东大学彭实戈教授因对“倒向随机微分方程”的研究成果而受邀在国际数学家大会上做一小时报告，就是因为这项成果可以应用于金融。

在 1950 年代后，数学在金融研究中的日益重要作用形成了金融数学。当今不懂金融数学的人很难在高水平的金融杂志发表论文。

14. 精算学

精算学是针对金融领域的应用技术科学。

银行业、保险业、证券业等对社会提供各种服务“产品”，需要服从一系列法规和其他规则，而提供服务就要使客户盈利，但同时自身也要获利，这就涉及合理定价、避险等很多问题（例如分期付款的房贷应如何确定月供，怎样安全地分散投资等等）。

对每个具体问题都需要专门建立数学模型来解决，这样就形成了大量的数学模型和方法。一个“精算师”需要在微积分、概率统计等方面达标，并掌握很多重要的数学模型。

除了上述学科外，数学还在不断渗透到其他领域，如生命科学、医学、军事、认知科学等等。今天人们已经认识到，没有什么学科是数学不能进入的，而数学的进入意味着严格的科学性和“定量的”精确性，意味着新科学的形成。由此可见“数学是研究数量关系和空间形式的科学”之类观点实在太狭隘了。

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四. 社会发展对于提高公民数学素质的需求

现代社会中的很多工作需要数学，但大多数不是数学家做，而是由非数学专业但具有合格数学素质的人做。因此，公民的数学素质是综合国力的一个重要因素。很多科学发达的国家对公民的数学素质都很重视（参看 [9]，[17]，[21]）。

数学有用吗？我有一次到中学讲课，校长要求我注意回答学生的一个问题：数学的用处难道就是刷题？这后面的背景是一个普遍的问题：中学数学教育严重脱离实际。

小学生做很多数学应用题，中学生却很少做甚至不做，当然也就越来越脱离应用。这不是数学的问题，而是教育的问题。

上面说到的“一般人用得着的数学就是加减乘除”，还有“生活中只需要用到小学的数学，更深的数学没用”等论调，常常误导公众。实际上现在大多数人学的数学都是很成熟的数学，只要学通了都很有用。五十年前根本听不到“数学有用吗”这样的质疑，因为那时的中学数学教育没有今天这么脱离实际。中学生在数学的应用方面应该比小学生有更高的要求，不仅要会做应用题，而且要能够将实际工作中的问题转化为数学问题并予以解决，就是说要培养数学建模的能力。

那么，怎样的数学素质才算合格呢？那要看工作领域。举例说，一个农村青年到城里打工做家装，开始时是在工头的指挥下工作并学习技术，用不到很多或较深的数学。但如果他有合格的小学数学素质，不久就会看到经常有需要用到数学的工作，例如计算墙面和地面面积，进一步计算需要多少材料，估计费用等等，自己也可以做，这样就可以自觉地提高工作能力，从而成为骨干工人。如果他的中学数学素质也合格，那就还可以做需要更深的数学的工作，如测量、管道与电路布线、施工设计与绘图等等，数学素质更好的甚至可以设法节省材料，为客户节约经费，那么他就可以自己成立一个包工队，而且得到客户的信任。这样的案例很常见。

多年前曹策问教授给小学生讲的“乾隆数塔”的故事，也是数学素质的一个精彩案例。少林寺塔林大大小小的塔非常多，很难数清，乾隆想了一个巧妙的方法，就是让他的御林军士兵每人抱住一个塔，等所有塔都被抱住后，再将所有抱塔的士兵集合起来点人数，这样很容易就数出了塔的个数。

就数学原理而言，乾隆数塔用的是“一一对应”，简言之两个能一一对应的有限集具有相同的元素个数。由于直接数塔很困难，而数士兵却很容易，这样就把一个难题转化为一个容易的问题了。

一一对应的原理，好的小学生也能弄懂，但很多高中生都还没弄懂。

那么，对于更深的数学是否也有数学素质的需求呢？较高的技术工作一般都需要大学以上是数学素质达标，对于这些工作有所了解的人都不难看到。即使没学过较深数学的人，从下面这个例子也能体会到数学素质的重要作用。

城市里的地铁一般是双线，一个站台有两个不同方向的同一线路地铁，但有例外。在下图中可以看到北京地铁的 4 号线 和 9 号线，它们在国家图书馆站交汇，4 号线由北向东南，9 号线由国家图书馆站始发向南。在国家图书馆换乘站，4 号线向北方向的车与 9 号线的终点站在同一个站台，而 4 号线向东南方向的车与 9 号线的起点站在同一个站台。为什么要采取这样不同常例的设计呢？



乘 9 号线到终点换乘的乘客，大多数是转乘 4 号线向北，因为若要转乘 4 号线向东南，多半是绕远路，不如直接 从南方过去；而乘 4 号线到国家图书馆站转乘的乘客，多半来自北方，因为来自东南方向的乘客可以在南方换乘。这样的设计，使得大部分换乘乘客不必换站台，给这些乘客多了方便，但并没有给其他乘客增加不便；另一方面，由于减少了乘客换站台，降低了站内乘客流量，提高了效率、可靠性和安全性。

如果设计者采用通常的安排（即 4 号线两个方向在同一站台，9 号线起点和终点在同一站台），也不能说不合格。但上面这样的设计显然“更好”。这样的想法看上去很简单，但没有很好的数学素质是想不到的。在数学上这称为“优化”，这是运筹学的一个核心概念。

这些案例都说明好的数学素质对于工作水平和质量的积极意义。遗憾的是，经常看到数学素质不合格的情形。下面举几个网上看到的例子。

1）2009 年，上海《新闻晚报》的一则报道说，市区高速公路将更换 5000 块路牌，总共耗费 2 亿元人民币。该消息使网上舆论大哗，因为用 2 亿除以 5000 计算出一块路牌要 40000 元，被称为“天价路牌”。有人更进一步追问其中的猫腻。

《新闻晚报》后来刊登了文章进行了解释：这 5000 块指路牌只是一小部分，其实只占有所有更换量的五分之一。也就是总体要更换 25000 块各种路牌。所以，用 2 亿除以 5000 来计算出 40000 一块路牌“太过于草率”。然而这非但没有解决“天价”的问题（因为一块路牌 8000 元仍是太贵），反而又多出新的问题。有的网民经过计算得出：这么多路牌相当于在高速路上开车平均每秒钟遇到一块路牌，这当然就更荒唐了。

此事后来是不了了之，但可以作为数学素质差的一个典型案例。

2）2009 年，某著名大学校长在接受采访时表示，素质要全面考量，一个所谓的高考状元的素质不一定比一个农村的孩子素质更高。“不能一谈到素质就是说唱歌好跳舞好，农村的孩子在比较弱势的群体中成长起来，他们更会知道尊重别人，会更能吃苦。”

很快就有网民指出：校长说话也犯逻辑错误。状元也可能是农村的孩子呀？（其实农村学生成为“高考状元”并不鲜见，在有些地方甚至很常见。）

3）2011 年初，河南平顶山市法院以“诈骗 368 万元高速公路通行费”的罪名判处时建锋无期徒刑，剥夺政治权利终身，并处罚金 200 万元。此案经相关媒体报道后，网上舆论哗然，称之为“天价过路费案”。据报道时建锋“骗免 368 万元”的时间总共不过 8 个月，每天一般只能运送一趟。如果过路费真的如此高，那实在太黑了。

此案后来被河南省高级法院发回重审，并对责任法官作出了处理。

4）某国总统上任伊始，要创造一些“政绩”。第一把火烧交通，说高速公路两个方向各有两条道，如果改划为三条道，不用花一分钱就可以将运力提高 50% ，下面一阵吹捧，于是乎就实行了。结果可想而知，交通事故大增，于是又烧了 第二把火，将两边都改回两条道。有趣的是，这又被吹捧成伟大的政绩，理由是： 两条道改划为三条道提高运力 50% ，三条道改划为两条道降低运力不到 34% ，两者相抵，50%-34%=16% ，就是说至少净增运力 16% ，一分钱没花。

5）特朗普任总统时谈到将在朝鲜半岛阵亡的美军士兵遗骸运回国一事，说： 在竞选期间，有成千上万的人要求我们这样做，他们告诉我，希望自己的儿子能被接回国。美国网民哄起来了： 朝鲜战争是在 1950 年代初，即使那时一个士兵二十岁，他父母现在也有一百多岁了。

只要留心，这类数学笑话每天都可以在网上看到很多。例如 2015 年 7 月，湖南省衡阳市珠晖区酃湖乡干部在计算当地上托小学项目摸底房屋面积时，在某户平面图上的踏步长度标为“77 米”。前不久网上普遍流传的两条信息：一条说“培养一个飞行员需要几十吨黄金”，一条说“中国一户人家每月的网费最低要 67 美元（比美国高得多）”。

由此可见，数学素质并不只是对于专业人员的要求，对于普通公民都是需要的。

五. 经济生活中的数学

数学素质即使对于普通人的经济生活也很有用。下面举几个例子。

例 1. 甲乙两个公司招聘，甲公司采用年薪制（以一年为单位定工资标准），起薪（开始工作时的工资）为每年 100000 元，以后逐年增加，每次年薪增加 6000 元；而乙公司采用半年薪制（以半年为单位定工资标准），起薪为每半年 50000 元，以后每半年增加一次，每次（半年薪）增加 2000 元。哪个公司的条件更优惠呢？

很多人（可能是大多数人）认为，两个公司的起薪标准是一样的，而乙公司每半年增加 2000 元，就是每年增加 4000 元，不如甲公司的每年 6000 元高。
但如果能根据两个公司的条件列出薪金公式，就得到甲公司第 n 年的工资数为 100000+6000(n-1) 。

而乙公司第 n 年的工资数为 100000+2000(4n-3) 。

再计算二者的差得到 [100000+6000(n-1)]-[100000+2000(4n-3)] = 2000n 。

即乙公司第 n 年的工资数比甲公司高 2000n 。

而初一代数没达标的人是做不到这些的。

例 2. 经常到商店买东西就会看到，商店常用各种打折等优惠来吸引顾客。

例如，某商店采用“礼券”优惠，每购买 100 元的商品，该店赠送 50 元“礼券”，不足 100 元的部份略去不计（例如购买 888 元的商品可获赠 400 元的礼券）；礼券的用法是：每购买 100 元的商品，可使用该店的 50 元礼券当作 50 元支 付，不足 100 元的部份略去不计（例如你有足够多的礼券，那么购买 560 元的商品可使用 250 元的礼券，剩下的 560-250=310 元则要用现金支付，注意由于你付了 310 元现金，商店还要再赠送你 150 元的礼券）。

按这样的办法，顾客究竟能获得多少（相当于几折）优惠呢？媒体宣传说相当于差不多五折优惠。如果中学数学学得好，可以自己推导出总的优惠至多接近（但小于）1/3 。要把这个问题完全搞清楚，需要用到一点微积分。

例 3. 古代“守株待兔”的故事说，一个偶然得到兔子的宋国人放下田里的活不做，成天专等兔子撞树，结果是“兔不可复得，而身为宋国笑”。

但嘲笑守株待兔的理由，不应是财迷或懒惰等，而应是愚蠢。那么守株待兔者愚蠢在什么地方呢？在于希望一个概率很小的事件重复发生。

象这样的小概率事件在生活中是经常遇到的，例如抽奖彩票，也许 100 万张里有一张奖一辆摩托车，那么一张彩票抽中摩托车的概率是 0.000001 。很多人都抽过某种奖，作为一种游戏玩玩也无妨，但不能“走火入魔”，成天除了抽奖什么别的工作也不做（如果抽奖也算一种“工作”的话），希望靠抽奖过日子，那就成了新时代的“守株待兔”了。

例 4. 有一类曾经很流行集资组织俗称“老鼠会”，其规则一般是： 每个人要交一笔“会费”才能参加，如果能发展 10 名新会员，就可以升一级并获得奖励（奖金当然来自新会员的会费），如果下一级的会员都升了一级，自己也就跟着又升一级并且得到更高的奖励。人们称老鼠会是“金字塔式”的：最高一级只有 1 个人，下一级有 10 个人，再下一级有 100 个人，等等。不久以后，在金字塔高层的人已经非常富有，这诱使越来越多的人参加，可是有一天，人们突然发现这个“老鼠会”倒闭了，所有新会员的会费都白交了，人们愤怒地追查金字塔顶端的人，可他们已经失踪了，于是人们到法院控告他们诈骗 ……，这种故事屡见不鲜。

不过，如过这些金字塔顶端的人不携款潜逃，而是跟着人们上法庭，他们会被判有罪吗？他们可以为自己辩护说，他们的公司是合法注册的，规章是公开的，他们并没有违规，而集资本来就有风险，会员都是自愿参加，参加时也知道有风险并签了协议。现在破产受损失，公司没有责任。

这类集资支付利息的方法一般是“拆了东墙补西墙”，即用后来入会者交的钱给先前入会者支付利息。这就是所谓“庞氏骗局”。

如果有较好的数学素质，就有“指数速度”远快于“线性速度”的直观。遗憾的是很多人没有这样的数学素质，所以缺乏警惕。例如老鼠会的情形，假如每个会员每月发展 10 名新会员，那么一个月后会员人数增加到 10 倍，两个月后增加到 100 倍，……由此立刻可以算出，10 个月后会员将有 100 亿，超过地球上的人口总数！这显然是不可能的，实际上老鼠会的发展方式维持不了多久，一般在几个月到十几个月后就发展不下去了，这时就会破产。而老鼠会的任何广告或介绍中都不会说明这一点。所以这种集资方式本质上是“数学诈骗”。

上面这些例子足以说明，即使只是提高了小学或中学水平的数学素质，对经济生活也会有很大的影响。

六. 得数学者得天下

前不久任正非在答记者问（参看 [15]）中说，华为雇用了七百多个数学家，还有很多物理学家和化学家。这使很多人震惊。但很少有人进一步追问这些科学家都在研究什么，需要怎样的数学素质；还有，这些科学家都是来自哪些国家，其中有多少中国人。

今天所说的“得数学者得天下”有两重意思：一是一个国家或民族的振兴要依靠全民数学素质的提升和众多具有高数学素质的人才，二是一个人的工作能力和发展前途（包括就业机会）与个人的数学素质密切相关。

先说国家民族层面的。很多人都听到过“高技术本质上是数学技术”这样的说法，不过要理解这一点，需要对于高技术有所了解，而且需要有较高的数学素质。遗憾的是，在网上经常看到的是对此的质疑（参看例如 [5]）。由此也可见公众的数学素质亟待提高。

很多人可能还听说过“海湾战争是数学战”这个说法。海湾战争之前，萨达姆宣称一旦开战他们要点燃科威特的油井阻挡美军，当然这会造成严重的污染。是否会造成全球的不可挽回的灾难，这是全世界都在担忧的问题。对此美国数学家建立了一个数学模型，经过模拟计算，证明这样造成的灾难是可控的。因此美军不惧萨达姆的威胁。后来萨达姆确实点燃了油井，而结果与模拟计算一致。

此外，在战争的准备阶段，美军的调动运用了运筹学，大大缩短了准备时间，从而保证了战争的突然性。

“高技术”这个词最早出现于集成电路领域（今天俗称“芯片”），集成电路的设计需要用到很强的数学工具如拓扑学。编码与密码学也有很多高技术应用，例如用于金融安全，今天在银行业中用到的“区块链”的基础是很前沿的椭圆曲线理论。我国数学家在编码与密码学方面有不少贡献。

那么，有什么高技术领域是中国数学家主导的呢？一个例子是 CT 机，我国在技术上与国际先进水平还有多方面的差距，但却可以造出傲视群雄的 CT 机，这是因为在图像处理模块中采用了中国数学家的高超算法。下面介绍的岩土工程防塌方技术是另一个例子。

当今中国被称为“基建狂魔”，不仅是靠工人的高质量辛勤劳动，而且有很多独到的技术。我们来看铁路建设。1950 年代的宝成铁路是一个大工程，看下面的路线图就会发现，这简直是个“弯弯绕”，其实绕来绕去的路线多半是沿着边坡，不仅绕远路，火车开得慢，而且维护难度高，容易发生滑坡等灾害。那一带都是崇山峻岭，如果走直线，就要开凿很多隧道。在那个时代，一般的工程设计都是尽量避免隧道的，其原因固然有施工难度和成本问题，但主要 是怕塌方。土木工程自有史以来，塌方一直是最恐怖的魔鬼。



这种情况直到大约五十年前才有了根本改变，中国数学家发现了岩石山体塌方的数学原理。这原理之精妙，甚至需要有数学奥林匹克的眼光才能完全理解。基于这个原理，就可以建立锁定岩石确保不塌方的算法。此后中国数学家一直引领这方面的算法的发展，用到很多尖端数学如拓扑学、整体微分几何等，已形成极为强大的高技术。今天中国的土木工程师不惧塌方，设计铁路都尽量走直线，看下面在建的渝湘高铁路线图，可见它是相当直的，这地区也有很多崇山峻岭，可谓“逢山开洞，遇谷架桥”，很多处桥隧相连。



从国家层面看，在经济、行政、金融、军事、发展规划等很多方面，都需要有很高数学素质的人参与决策。很多大公司的决策也需要高数学素质的人参与。

再说个人层面的。数学素质能影响很多方面的工作（参看例如 [17]）。举例说，初中平面几何所培养的逻辑性，可使作家写推理小说避免逻辑漏洞；很多人写文章会混淆命题和逆命题，而鲁迅的论辩文章经常抓住论敌的这类逻辑漏洞（足见鲁迅的数学素质）；数学的逻辑训练对于法官断案和律师辩护是必要的；音乐家也需要很好 的数学素质，因为现代和声学、曲式学等都应用了较深的数学；哲学家如果没有很好的数学素质，就不能读懂黑格尔的书；公司对于产品的定价需要运筹学；工程的管理也需要运筹学；程序员如果懂得优化，可使所编 的程序运行速度快且占用内存少，等等。前面已经看到很多其他方面的例子。

这里所涉及是数学，一般都不是前沿数学，而是几十年前甚至更早时期的数学。而在数学的发展中，老的数学越来越成熟，越成熟就越使普通人容易学懂。所谓数学素质，简言之就是学懂了数学并能自觉独立运用的能力。

那么数学素质如何培养？数学教育有其特殊的规律，在一般的教育学中完全没有涉及（参看 [4]）。因此，很多中学招聘数学教师，宁可要数学专业出身但没学过教育学的，也不愿要教育学出身但数学基础薄弱的。而让数学素质差的“教育家”指导数学教育则更是有害的。

我国历史上曾经有很多优质的数学教育和教材。民国时期采用较多的《3S 平面几何》、《范氏大代数》等都是高水平的教科书，而且是傅种孙、吴文俊等大师翻译的，后来国内编写的教科书质量也很高；解放初期所编写的数学教科书质量也 都很高，即使当时东北编的职工业余教材也远比当今的统编教材水平高；1960 年代的教科书，内容有所弱化，但基本架构未变。1977 年恢复高考以后，中学所采用的教科书基本上是翻印 1960 年代的教科书，一直用到 1980 年代。

1950-60 年代在华罗庚先生的倡导下，很多顶尖数学家参与中学数学教育，写出了很多高水平（甚至在国际上也属最高水平）的中学生读物。此外，华罗庚先生还倡导和力行为中学生讲课、举办数学竞赛等（参看 [7]），都取得了显著成效，是培养数学素质的很好途径。

发达国家都很重视科技人才的培养，其中数学教育是一个重要因素。法国、英国、以色列、俄国、日本等国在中学数学教育方面都有很好的经验值得我国借鉴（参看 [9]）。例如法国的高水平中学在高中时已学习相当于我国的大学课程，中学毕业生预修一两年可参加 Ecole 入学考试，若考取基本上相当于我国的直博，而 Ecole 入学数学试题比我国 的研究生入学数学试题深而且难。我国中学数学教育如果做得好，应该也可以达到这样的水平。实际上在多年前 我国就有这样水平的中学（参看 [18]）。

七. 寄语

同学们选择了数学作为自己的专业，这是明智的，也是幸运的。希望同学们能抓住这个机遇。

但如上所说，很多同学在中学阶段浪费了很多宝贵时间，学了很多在数学中没有什么价值而且没什么用处，只是应付考试的东西。那么，怎样才能把浪费的时间追回来？

对于大多数同学，首要的任务恐怕是培养独立自主的学习能力。这样的能力本应在初中阶段培养，遗憾的是很多同学直到高中毕业甚至大学本科毕业也还没有培养出来。即使这样，如果想明白了，现在开始培养也不晚。

我曾遇到一些刚考上研究生的同学问：老师，我们一周的日程是怎么安排的？我说天哪，你都是研究生了怎么还要老师来安排日程？自己想学什么就学呗。

在大学里学习有一个很大的好处：无论你学得多深，也不会受到“超纲”之类的大棒打压；无论你学得多广，也不会被举报。这样的学习环境是值得珍惜的。

很多新同学会有一个问题： 学数学专业将来能做什么？前面已经看到，有了数学基础可以进入很多交叉领域工作。其中有一些工作是由数学家独立做的，例如当年华罗庚先生的团队，就做了很多运筹学方面的工作，为经济建设做出了直接的贡献。前面说到的数学家对于 CT 和岩土工程的贡献也是这样的例子。在另一些情形，数学的贡献是由数学家与其他领域的工作者合作做出的。下面举一个这种合作的例子。

张恭庆先生曾参加受控核聚变的研究，为此物理学家要解一个微分方程。令人困惑的是，用计算机解这个方程，有时候收敛有时候不收敛。张先生研究了这个方程后告诉物理学家，这个微分方程有两个解，其中一个是稳定的，另一个是不稳定的。如果计算机沿稳定解的方向计算，就会收敛；而若沿不稳定解的方向计算，就可能不收敛。物理学家诧异了：微分方程怎么会有两个解呢？张先生回答说，代数方程就可以有多个解，微分方程有多个解并不奇怪。

如果一个同学在中学里没有培养起数学建模的能力，那么到了大学自觉培养也不晚。另一方面，如果能够培养与其他领域工作者合作的能力，也是很有意义的。

希望同学们立下雄心壮志，在今后几年的学习中，打下坚实的基础，拓展自己的眼光，培养出独立工作的能力。

中国数学的前途和希望，寄托在你们身上。

谢谢大家。

参考文献

[1] 初中数学新课程标准（2011年版）

[2] 方帆：“探究式教学法”是一种垃圾教学法理论

[3] 冯琦：《数理逻辑导引》，中国科学院大学教程（2017）

[4] 姜树生：谈数学教育的特殊性 ---- 兼谈如何处理数学与教育学的关系. 数学通报 2008 年第 4 期

[5] 姜树生：lkq 总理关于数学的发言与社会反响（2015.4.）

[6] 姜树生：现行统编中学数学教科书有多烂（2016.11.）

[7] 李克正：缅怀和发扬华罗庚先生对中国青少年数学人才培养的贡献（2010.9.）

[8] 李克正：《数学的哲学意义》（首都师范大学讲义 2011-2013）

[9] 李克正：英国中学数学人才培养考察报告. 数学通报 2012 年第 10 期

[10] 李克正：怎样学好数学. 返朴网（2019）

[11] 李克正：在中国数学教育研讨会上的发言（温州，2020）

[12] 李克正：我们为什么要学好数学

[13] 莲溪：是谁夺走了美国人的数学能力？--美国百年数学战争演义

[14] 其故：得数学者得天下. 返朴网（2019）

[15] 任正非 2019 年 5 月 21 日答记者问

[16] 咸道：致家长

[17] 严士健主编：《面向 21 世纪的中国数学教育》. 江苏教育出版社（1994）

[18] 尹裕：寻回美好的中学时代. 数学通报 2006 年第 1 期

[19] 尹裕：精英教育的迫切性与中国教育危机. 数学通报 2009 年第 4 期

[20] 朱忠明：中学数学教程和高校数学教程的衔接问题探讨（2016.11.）

[21] 朱忠明：中学生数学素养测评模型的构建与实测研究（2018.5.）