张筑生教授谈数学与数学教育

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张筑生教授谈数学与数学教育

文章转载自微信公众号：和乐数学

作者：张筑生（北京大学数学科学学院）

本文来自：《中学生数学》

数学是什么，对人类文明发展有怎样的贡献？这是一个带有根本性的问题，又是一个深受误解的问题。要引起全社会对教学教育的重视，要明白数学教育应该做什么和怎样做，首先应对这个问题有清醒的认识。

一、数学——理性思维的基本形式

人类认识的发展基于经验的积累和理性的思维。单靠经验的积累，只能在黑暗中摸索前进，不可能有认识上的重要突破。在经验积累的基础上，经过理性的思维才能产生伟大的飞跃。

许多人虽然清楚地看到科学发展所引的现实生活的变革，却忽视或忘记了理性思维所起的主导作用。重视“硬件”却忽视更为重要的起着主导作用的智力“软件”，这可能是数学的作用常常受到误解的一个重要原因。

伟大的科学家和思想家对数学的关键作用早有明确的论述。为了强调数学的作用，爱因斯坦在 1940 年美国科学会议上的报告中，甚至给物理学下了这样一个定义：“在我们的全部知识中，那个能够用数学语言表达的部分，就划为物理学的领域。随着科学的进步，物理学的领域扩张到这样的程度，它似乎只为这种方法本身的界限所限制。”恩格斯在辑入《自然辩证法》一书的札记中写道：“数学在一门科学中应用的程度，标志着科学成熟的程度。”

二、数学与宇宙观的革命

关于哥白尼的贡献，有这样一种流行的说法:“从前人们为太阳绕着地球转，哥白尼纠正了这一谬误，指出是地球绕太阳转。”其实，运动都是相对的，本无所谓“谁绕谁转”。人们观察运动，却需要一个参照系。“地球中心说”将参照系固定于地球；“太阳中心说”将参照系固定于太阳。“地心说”是一种数学模型，“日心说”也是一种数学模型。“地心说”能够解释太阳和其他恒星的视运动，应该说也是具有相对真理的作用。但对于解释行星的视运动（当时只知道金、木、水、火、土五大行星），“地心说”却显得极其笨拙（用了几十个圆周运动的复合尚不能自圆其说）。“日心说”取代‘地心说”，实质上是用一种好的数学模型取代了一种蹩脚的数学模型。

哥白尼模型用以解释行星的视运动仍有相当的误差。天文学家积累了丰富的观测资料却无法对此作出解释。开普勒在大量观测资料的基础上进行思考，终于认识到必须进一步用更好的数学模型修正哥白尼的模型。经过数十次的假设、试算并检验拟合程度的艰苦探索之后，开普勒提出以椭圆轨道模型代替哥白尼的圆形轨道模型，并在此基础上提出了著名的行星运动三大定律。

有一个流传极广的故事，说是牛顿被树上掉下的苹果打中，顿生灵感而发现了万有引力定律。其实，基于开普勒三大定律的数学计算，已经明确地指出：行星有一个指向太阳的与距离平方成反比的加速度。牛顿本人在与胡克争论“平方反比力”的发现过程时，一再强调开普勒定律的贡献。苹果的落下只是使经过深思熟虑的牛顿意识到，让苹果落下的力，让月球维持绕地球运行的，让行星维持绕太阳运行的力，本质上应该是一样的，因而可以借助于这一类比通过数学计算验证平方反比律。由此可见，万有引力定律的提出及设想的验证方案都离不开数学。是数学而不是苹果让牛顿成了第一次宇宙观革命的完成者。牛顿完全有理由把他最重要的著作命名为《自然哲学的数学原理》，他发现新宇宙的思维方式正是一种数学的思维方式。牛顿学说的伟大，不仅在于能够解释当时的经验材料，而且在于可以预见未来一一关于这一点将在后面进一步说明。

爱因斯坦的相对论是宇宙观的第二次大革命。这一革命的核心内容是时空观念的改变。时间的流逝与空间的广延是一切存在的基本形式。牛顿力学的时空观认为时间与空间互不相干，伽利略变换式是这种数学模型的基本表现形式。爱因斯坦的时空观却认为时间与空间是相互联系的，“四维空间”的洛仑兹变换是这种数学模型的重要表现形式。促使爱因斯坦作出这一伟大贡献的仍是数学的思维方式。他的出发点是两个基本原理：一般相对性原理和光速不变原理。从基本原理出发所用的推理方式完全是一种数学推理方式。爱因斯坦推演出许多人们在日常生活中完全体验不到的结论。正是数学的思维方式，才使得他能远远超越人们的日常经验而作出了不朽的贡献。

三、一本教科书的影响

如果要在教科书中评选世界之最，那么有一本书毫无疑问会赢得最多的金牌。这本书就是欧几里得的《几何原本》。该书被用作教材的时间最长（其基本内容从两千多年前沿用至今），被翻译成的各种文字版本最多，对人类文明的影响最大，两千年来，从这本书学会逻辑推理的人远远超过了从亚里士多德著作中获益的人。后世的许多科学家和哲学家，例如牛顿、爱因斯坦和斯宾诺沙，都愿意以一种类似于这本书的方式推演和阐述自己的理论。1933 年，爱因斯坦在英国牛津大学所作的《关于理论物理的方法》的演说中，曾这样讲道：“我们推崇古代希腊是西方科学的摇篮。在那里，世界第一次目睹了一个逻辑体系的奇迹。这个逻辑体系如此精密地一步一步推进，以致它的每一个命题都是绝对不容置疑的——我这里说的就是欧几里得几何。推理的这种可赞叹的胜利，使人类理智获得了为取得以后成就所必需的信心。如果欧几里得未能激起你少年时代的热情，那么你就不是一个天生的科学家。”

然而，最近几十年来，也有一些人对两千多岁高龄的欧几里得几何教材提出质疑，甚至出现了“欧几里得走开”之类的口号。西方还出现了以取代欧几里得几何为目标之一的“新数学运动”。对欧几里得几何教材的质疑主要集中于以下两个问题：

● 质疑一：欧几里得《几何原本》的逻辑基础有若干含混和不彻底之处，往往要借助于几何直观。我们何必要继续用这样一种不精密的阐述作为教材？

● 质疑二：数学已有了极其伟大的发展，为什么不教新的数学概念却拘泥于沿用了两千年的老材料？

对质疑一的回答是：开始学习平面几何的学生是一些十来岁的孩子。如果把教材弄成像希尔伯特《几何基础》一书那么严谨，恐怕无论如何也不能为这些孩子们所接受。开始时容忍一些含混和不够严谨之处，正是为了让孩子们在更加成熟以后能够学会严谨而不含混的数学，须知人们在懂得数学的严谨公理之前早就学会了数数（shǔ shù）。试想，如果在幼儿学习数数之前，先要让他学习严谨的皮亚诺自然数公理，那会是怎样一种局面？

对质疑二的回答是：欧几里得几何建立了最简单、最直观、最能为孩子们所接受的数学模型，然后教会他们用这样的数学模型去思考去探索，有大量的练习供给他们去做，让他们亲身体验数学推理的力量。点、线、面、三角形和圆———这是一些多么简单又多么自然的数学模型，却能让孩子们在数学思维的天地里乐而忘返。很难想像有什么别的材料能够这样简单同时又这样有成效。

“新数学运动”想用集合、映射、向量运算等新的东西取代欧几里得几何，却未能成功。瑞典数学家戈丁在他所著的《数学概观》一书中对此作了很中肯的评论：“不错，新的概念是简单的，但它们必须以精确的语言来讨论，而这就超过了大多数儿童的接受能力。除此以外，有趣的应用很少，而且练习既平凡又无用。其他的缺点还有：算术的技能不见了，初等几何被忽视，因而从学校毕业之后，就再也没有什么数学仍是生活的知识了。简单一句话，整个事业即使不是完全失败，也绝对未获成功”。他指出“新数学运动”的倡导者们“所要引进的模型和概念是简单的”，据说“它们也可以在中小学教材中实现同样的目标”。但遗憾的是，它们的简单性的另一方面，是它们的平庸而贫乏的内容：这些模型根本不是儿童的良好的运动场。对这些东西有很多要学，有很多要看的，但却没有什么可做的。与此相反，在数和几何的广阔天地里，对任何人来说，总有许多好的、有教育意义的事可做。

这当然不是说新的材料永远不应该进入中小学教材，问题在于要能够设计出大量的精彩生动的练习题，让孩子们能够去做、去体验。人们常说“学数学最好的办法就是做数学”，这是千真万确的。数学奥林匹克活动中就有许多好的题目。这些题目没有生硬地引入中学生难以接受的概念与术语，却巧妙地把新的数学知识和新的数学思想融入其中。数学奥林匹克活动能够吸引全世界几十个国家上千万的青少年，正是因为有这么多回味无穷，令人陶醉的好题目，将新的数学内容转变成学生可接受又有事可做的教学材料，数学奥林匹克活动给我们揭示了正确的途径。

四、数学教育，做什么和怎样做

“数学教师将会失业吗？”这个问题显得十分突兀离奇，却是 1988 年来华的美国数学教育访问团的一位成员认真提出来探讨的，他谈到：“已经有了一种掌上电脑，数学教师所教的几乎所有的公式推演它都会，甚至还能算微积分。目前这种掌上电脑还很昂贵，但迟早有一天每个学生手中都会拿着一件甚至更为能干更为高明的掌上电脑，到了那时，数学教师还能教什么呢？”

我当时的回答是：如果一位数学教师只会教“公式微积分”，或者其他死套公式的“学问”，那么他可能是要丢失饭碗的。如果他擅长于教学生用数学的方式去思考去探索，那么任何机器都无法代替他的作用。

我这意见得到美国同行的赞同。这位来访者提出的确实是一个引人沉思的问题。数学教师千万别把学生引入死套公式的岐途，那绝对是误人子弟。数学教育应该做的事就是让学生通过自己的参与，通过“做数学”来体验数学。应该引导学生学会用数学的方式去思考去探索，这才是最最重要的事。好的数学题有永恒的魅力，能让学生体验数学推理的了不起的效力。在《爱因斯坦文集第一卷》（商务印书馆 1976 年版）之中，这位伟大的学者一而再、再而三地谈到第一次接触欧几里德几何时的感受，也一而再、再而三地谈到数学的思维方式和数学的方法对他所作研究的重要作用。从他的自述中，我们能够体会到好的数学教育应该是怎样的。每个关心数学教育的人都应该看看这本书。



作者简介：张筑生教授（1940-2002.2），1983 年成为北京大学的第一位博士。他具有很高的学术天分和创造才能，却甘于从事最基础的教学和教材编写工作；他身体有残疾，却以惊人的毅力战胜自我，多次任国际数学奥林匹克（IMO）中国代表队领队或主教练，连拿五届总分第一；他忘记自我，诲人不倦。