求：X^2+Y^4=Z^2的正整数解

lusishun · 发表于 2022-10-30 00:45

解：Y^4=（Z+X）（Z-X），
设Z+X=Y^3，
Z-X=Y，
则Z=（Y^3+Y）/2，
X=（Y^3-Y）/2，
试验得，X=30，Y=4，Z=34.
（是否还有，在探讨）

lusishun · 发表于 2022-10-30 01:11

X=12，
Y=3，
Z=15，
是

lusishun · 发表于 2022-10-30 01:18

X=60，
Y=5，
Z=65.
也是.
猜想：Y大于1的整数，都成立

lusishun · 发表于 2022-10-30 07:10

猜想：
不定方程X^2+Y^n=Z^2（n是正整数），Y可取大于1的所有整数（X、Z由Y值确定）。

lusishun · 发表于 2022-11-21 11:15

lusishun 发表于 2022-10-29 23:10
猜想：
不定方程X^2+Y^n=Z^2（n是正整数），Y可取大于1的所有整数（X、Z由Y值确定）。

我想这题在很多网友那里，已经很简单了

lusishun · 发表于 2022-11-21 11:20

lusishun 发表于 2022-10-29 23:10
猜想：
不定方程X^2+Y^n=Z^2（n是正整数），Y可取大于1的所有整数（X、Z由Y值确定）。

n是奇数，很好证明，
因为，任一奇数都是两个连续自然数的平方差，
（n+1）^2-n^2=（n+1+n）（n+1-n）=2n+1.
证毕

lusishun · 发表于 2022-11-21 11:22

我从最简单的开始学起。

朱明君 · 发表于 2022-11-21 14:11

本帖最后由朱明君于 2022-11-21 07:17 编辑

x^2+y^4=Z^2，

设[y^(4-1)-y]/2=x，[y^(4-1)+y]/2=Z，
其中y为≥2的正整数，
则x^2+y^4=Z^2，

朱明君 · 发表于 2022-11-21 14:18

，，，，，，

lusishun · 发表于 2022-11-21 14:55

朱明君发表于 2022-11-21 06:11
x^2+y^4=Z^2，

设[y^(4-1)-y]/2=x，[y^(4-1)+y]/2=Z，

我是按
Y^4=Z^2-X^2=（Z+X）（Z-X）开始的，

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