丢番图方程解的判断法

费尔马1

根据定向勾股数来判断：
（1）A^（2x）+B^(2y)=C^(2z)
此方程式的三个指数都拿出因子2之后，剩下的三个数只要两两互质，原不定方程就有正整数解。
注：剩下的这三个数可以其中一个数含2^k，当然，全部是奇数更好，更容易解方程。
例如：A^6+B^8=C^10就有正整数解……

程氏判断法：
丢番图方程
（1）A^2+B^p=C^(2p)无正整数解；
（2）A^2+B^（p+1）=C^(2p)有正整数解。
其中，p为奇素数。
证明：
因为p与p+1互质，即p+1不含p因子，
所以（p+1）/2也不含p因子，
故，p与（p+1）/2互质
因此，不定方程A^2+B^（p+1）=C^(2p)有正整数解。
例如：
A^2+B^3=C^6无正整数解；
A^2+B^5=C^10无正整数解；
A^2+B^11=C^22无正整数解；
A^2+B^4=C^6有正整数解；
A^2+B^6=C^10有正整数解；
A^2+B^12=C^22有正整数解；
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费尔马1

关于二项和不定方程的解的判断，我这里有一个求解的数学模型，可以判断任意一个二项和不定方程是否有正整数解！

费尔马1

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费尔马1

这个求解的数学模型就是希尔伯特所期望的算法，可以判断二项和不定方程是否有解：
（1）三个指数各不相等：A^x+B^y=C^z；
（2）三个指数同次：A^n+B^n=C^n。
但她不可以判断A^n+B^n=C^z型的不定方程，其中，n与z互质。
A^n+B^n=C^z型的不定方程有正整数解，可以采用“整体换元法”解之。
注，三个指数同次：A^n+B^n=C^n，即使采用“整体换元法”解之，也是无正整数解的，这样就说明费马方程确实无正整数解。

费尔马1

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