从 ΔABC 内一点 P 向三边作垂线，垂足为 D,E,F，求 P 使 BC/PD+CA/PE+AB/CF 为极小值

dodonaomikiki

1981，数学竞赛题，关于垂线

具体看图

马奕琛

\(解：\)
\(设三角形面积为S，周长为C，易知AB×PF+AC×PE+BC×PD=2S\)
\(则(\dfrac {AB}{PF}+\dfrac {AC}{PE}+\dfrac {BC}{PD})×(AB×PF+AC×PE+BC×PD)≥(AB+AC+BC)^{2}\)
\(当且仅当\dfrac {1}{PF^{2}}=\dfrac {1}{PE^{2}}=\dfrac {1}{PD^{2}}时成立\)
\(此时P为三角形内心，\dfrac {AB}{PF}+\dfrac {AC}{PE}+\dfrac {BC}{PD}=\dfrac {C^{2}}{2S}\)