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已知 ΔABC 面积为 1/4,外接圆半径 R=1,试比较 √a+√b+√c 与 1/a+1/b+1/c 的大小

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发表于 2022-11-3 14:15 | 显示全部楼层 |阅读模式
2018上交自招题,比较大小



我一开始,想的很简单:搞一个特殊值出来!
结果构造一个等三角形之后,解方程受到阻碍!
不晓得有什么好的办法?

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发表于 2022-11-3 20:41 | 显示全部楼层
本帖最后由 Nicolas2050 于 2022-11-3 20:56 编辑

SLUTION:
在△ABC中,三边长为a,b,c.R为外接圆的半径)
证明:a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R:

任意三角形ABC,作ABC的外接圆O.
作直径BD交⊙O于D.
连接AD.
因为直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90度
因为同弧所对的圆周角相等,所以∠D等于∠C.
所以c/sinC=c/sinD=BD=2R.
由正弦定理得:a/sinA=b/sinA=c/sinC=2R。
证毕。


由正弦定理可以知道a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R,(R为外接圆的半径),所以sinC=c/2R;再由三角形的面积公式S=1/2*absinC,将sinC=c/2R代入于是S=abc/4R.

三角形面积=abc/4R, R为外接圆半径。
由r=1 面积为1/4可得 abc=1
1/a+1/b+1/c-(√a+√b+√c )

=(abc)/a+(abc)/b+(abc)/c-[√a(abc)+√b(abc)+√c(abc) ]

=ab+bc+ca-a√bc-b√ca-c√ab

=[2(ab+bc+ca)-2(a√bc+b√ca+c√ab)]/2

=[(ab+bc-2b√ac)+(bc+ca-2c√ab)+(ca+ab-2a√bc)]/2

=[(√ab-√bc)^2+(√bc-√ca)^2+(√ca-√ab)^2]/2

a,b, c为互不相等的正数,所以上式大于零.即
1/a+1/b+1/c>√a+√b+√c

或用柯西不等式。
原式化为ab+bc+ca>√aabc+√abbc+√abcc
由柯西不等式知
(ab+bc+ca)(ac+ab+bc)>(√aabc+√abbc+√abcc)^2
于是原题得证 。
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发表于 2022-11-3 20:53 | 显示全部楼层
本帖最后由 Nicolas2050 于 2022-11-3 21:00 编辑

证明:a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R:
在△ABC中,三边长为a,b,c.R为外接圆的半径)
任意三角形ABC,作ABC的外接圆O.
作直径BD交⊙O于D.
连接AD.
因为直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90度
因为同弧所对的圆周角相等,所以∠D等于∠C.
所以c/sinC=c/sinD=BD=2R.
由正弦定理得:a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R。
证毕。

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 楼主| 发表于 2022-11-5 10:04 | 显示全部楼层
本帖最后由 dodonaomikiki 于 2022-11-5 10:08 编辑

Nico兄dai四两拨千斤,
非常绝妙,Thank   U!
可谓是,一个小数学家



整理如下,在下楼
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 楼主| 发表于 2022-11-5 10:08 | 显示全部楼层
S=ab2sinC,C2R=sinC
  S=ab2C2R=abc4R


We  have  known   that
  14=abc4
  abc=1
Okay
1a+1b+1c(a+b+c)=abc(1a+1b+1c)abc(a+b+c)=bc+ac+ababcbaccab=2bc+2ac+2ab2abc2bac2cab2=(bcac)2+(bcab)2+(acab)22CauzabcO

  1a+1b+1ca+b+c        


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