已知实数 a,b 满足 4a^2-5ab+4b^2=19 ，求 a^2+b^2 的最大值

dodonaomikiki

如果图形上直观地看，
椭圆长轴的端点，到原点的距离最大。
是不是按照这个思路走呢？

luyuanhong

dodonaomikiki

首先感谢陆老师！非常感谢~~~
但感觉需要高度技巧和数学天分，TALENT!





但平庸如我，似乎觉得几何作法比较适合庸人！
下面我给出我的做法，
从几何上进行突破！

dodonaomikiki

搞成方程常见的形式
     \(      4x^2-5xy+4y^2=19                       \)



Rotation    formula
     \(      \begin{cases}    X=xcost  -ysint\\Y=xsint  +ycost    \end{cases}      \)
代入原来方程，我们抓住交叉项\(    xy      \)进行计算
最后得到
     \(      xycos ^2  t-xysin ^2  t=0      \)
我们无非就是要消掉这个交叉项，故而
     \(      \Longrightarrow     t=45^O    \qquad  or    \qquad  135^O      \)
To    be   convenient
     \(      Set:   t=45^O       \)
     \(      \Longrightarrow     一个标椭：      \)
     \(      2x^2+2y^2-5( \frac{x^2   }{2}    -   \frac{y^2   }{2}     )+2x^2+2y^2=19      \)
     \(      \Longrightarrow   (4-   \frac{5   }{2}    )x^2+(4+  \frac{5   }{2}    )y^2=19      \)

     \(      \Longrightarrow     38=3 x^2 +13   y^2      \)

     \(      \Longrightarrow       \frac{x^2   }{  \frac{38  }{3}   } + \frac{y^2   }{\frac{38  }{13}} =1      \)




题目中の      \(        \sqrt{  （a^2+b^2）max    }      \)
不就是这个标椭の长轴長嘛！
     \(      \Longrightarrow   （a^2+b^2）max = \frac{38  }{3}       \)

dodonaomikiki

观看一哈这个标椭，
长轴の长度，落在啦 \( 3.5   \) 过去一点，
这就与 \( \sqrt{   \frac{38}{3}} \) 对应起来啦

llshs好石

刘海明

4a^2+4b^2>=8ab   4a^2+4b^2-5ab=19>=3ab  当且  a=b=根号19/3  取等    a^2+b^2>=2ab 取等 任意实数 所以  ab=19/3  时候 a^+b^2 max =38/3

dodonaomikiki

据我观察与理解，
本质而言，
海明老师，石头老师，取用的知识点是一致的！
本质可以说，一样帅哦