天道酬勤——世界级难题出炉

费尔马1

解函数不定方程(即求出其正整数解集通式）：
  A^（2147483648n+1）+B^（2147483648n+32769）=C^（2147483648n+65537）
其中一个通解公式是：
A=2^(4294967296n^2+196610n+2)*u*v*[u^（2147483648n+1） - v^（2147483648n+1）]^[(4611686018427387904n^2+211110527500288n+2147581953)k+281466386776064n^2+12884770812n+131074]*[u^（2147483648n+1） +v^（2147483648n+1）]^[(4611686018427387904n^2+211110527500288n+2147581953)k+4611404547745644544n^2+211097642532866n+2147450877]
B=2^(4294967296n^2+131074n)*[u^（2147483648n+1） - v^（2147483648n+1）]^[(4611686018427387904n^2+140741783322624n+65537)k+281466386776064n^2+8589934588n+4]*[u^（2147483648n+1） +v^（2147483648n+1）]^[(4611686018427387904n^2+140741783322624n+65537)k+4611404547745644544n^2+140733193256962n+65533]
C=2^(4294967296n^2+65538n)*[u^（2147483648n+1） - v^（2147483648n+1）]^[(4611686018427387904n^2+70373039144960n+32769)k+281466386776064n^2+4295098364n+2]*[u^（2147483648n+1） +v^（2147483648n+1）]^[(4611686018427387904n^2+70373039144960n+32769)k+4611404547745644544n^2+70368743981058n+32767]
其中，n、u、v为正整数，k为正整数或0，u大于v。
                                                 解于2022年10月24日晚

费尔马1

。。。。

yangchuanju

为便于阅读，分一下行：
解函数不定方程(即求出其正整数解集通式）：
  A^（2147483648n+1）+B^（2147483648n+32769）=C^（2147483648n+65537）
其中一个通解公式是：
A=2^(4294967296n^2+196610n+2)
*u*v
*[u^（2147483648n+1） - v^（2147483648n+1）]
^[(4611686018427387904n^2+211110527500288n+2147581953)k
  +281466386776064n^2+12884770812n+131074]
*[u^（2147483648n+1） +v^（2147483648n+1）]
^[(4611686018427387904n^2+211110527500288n+2147581953)k
  +4611404547745644544n^2+211097642532866n+2147450877]

B=2^(4294967296n^2+131074n)
*[u^（2147483648n+1） - v^（2147483648n+1）]
^[(4611686018427387904n^2+140741783322624n+65537)k
  +281466386776064n^2+8589934588n+4]
*[u^（2147483648n+1） +v^（2147483648n+1）]
^[(4611686018427387904n^2+140741783322624n+65537)k
  +4611404547745644544n^2+140733193256962n+65533]

C=2^(4294967296n^2+65538n)*
[u^（2147483648n+1） - v^（2147483648n+1）]
^[(4611686018427387904n^2+70373039144960n+32769)k
  +281466386776064n^2+4295098364n+2]
*[u^（2147483648n+1） +v^（2147483648n+1）]
^[(4611686018427387904n^2+70373039144960n+32769)k
  +4611404547745644544n^2+70368743981058n+32767]

其中，n、u、v为正整数，k为正整数或0，u大于v。
                                                 解于2022年10月24日晚

通解中的A共5个因子，BC各3个因子，其中后2个是特定因子，各占3行

费尔马1

yangchuanju 发表于 2023-1-17 08:40
为便于阅读，分一下行：
解函数不定方程(即求出其正整数解集通式）：
  A^（2147483648n+1）+B^（2147483 ...

谢谢杨老师关注并整理。

蔡家雄

刚刚在计算数学板块发了一个关于四次方程的，看你能否解答出来。

见《勾股数新公式》第 20 页。

lusishun

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yangchuanju

费尔马1 发表于 2023-1-17 19:59
谢谢杨老师关注并整理。

费尔马世界级难题——函数不定方程分析
费尔马世界级难题出炉之函数不定方程是
A^（2147483648n+1）+B^（2147483648n+32769）=C^（2147483648n+65537）
其中2147483648=2^31,  32769=2^15+1,  65537=2^16+1
令A指2147483648n+1=2^31n+1=a,
费尔马给出的通解ABC分别由5个因子、3个因子、3个因子组成，含两个参变量u和v，
BC解的三个因子都是幂结构，三底数分别是2，(u^a-v^a)和(u^a+v^a);
A解的五个因子中有3个是幂结构，三底数分别是2，(u^a-v^a)和(u^a+v^a)，再加一个双因子u*v;
解ABC的2的指数中各只有一个非周期部分t1*n^2+t2*n+t3；
(u^a-v^a)和(u^a+v^B指)的指数各由两部分组成：(s1*n^2+s2*n+s3)*k和t1*n^2+t2*n+t3。
ABC分别乘以方程的指数后形成4u^a*v^a*K、(u^a-v^a)^2*K和(u^a+v^a)^2*K之结构形式，K因子前的三个数字是一组勾股数，
其中K各含三个大幂因子，三幂因子的指数分别相等。
文中涉及到的字母A、B、C、a、u、v、K都是大于1的正整数，u>v；n、k、si、ti、mi为非负整数。

解ABC的2的指数中各只有一个非周期部分：
A的2的指数等于（B指*C指*m1+2）/A指；
B的2的指数等于C指*m1；C的2的指数等于B指*m1；
对于本例乘数m1=2。

解ABC的u^a±v^a的2级指数中的周期数分别是：
B指*C指=(4611686018427387904n^2+211110527500288n+2147581953)k
A指*C指=(4611686018427387904n^2+140741783322624n+65537)k
A指*B指=(4611686018427387904n^2+70373039144960n+32769)k

解ABC的u^a-v^a的2级指数中的非周期数分别是：
A的2级指数等于C指*m2；
B的2级指数等于（A指*C指*m2+2）/B指；
C的2级指数等于A指*m2；
对于本例乘数m2=131068n+2。

解ABC的u^a+v^a的2级指数中的非周期数分别是：
A的2级指数等于B指*m3；
B的2级指数等于A指*m3；
C的2级指数等于（A指*B指*m3+2）/C指；
对于本例乘数m3=2147352578n+65533。

三组非周期的具体数据从略，详见费尔马1的通解。
（上面的三个m数值是学生根据老师所给通解反求的，
然而m2等，必须先根据整除式“（A指*C指*m2+2）/B指”求出m2，才能再求AC的2级指数。）
通解中的三个乘数m1、m2、m3如何求得，学生不知，希望老师告知。

费尔马1

yangchuanju 发表于 2023-1-22 15:57
费尔马世界级难题——函数不定方程分析
费尔马世界级难题出炉之函数不定方程是
A^（2147483648n+1）+ ...

非常感谢杨老师花费精力分析计算，其实，学生的解法比您的分析法要简单啊！具体解法需要详细地一步一步地写出，才能看明白。这个方法暂时不先发布，请老师见谅，以后有时机定当发表。

yangchuanju

费尔马1 发表于 2023-1-22 17:55
非常感谢杨老师花费精力分析计算，其实，学生的解法比您的分析法要简单啊！具体解法需要详细地一步一步地 ...

令n=0，k=0，原费尔马1的函数型不定方程变为：
A^1+B^32769=C^65537
它的一个通解公式是：
A=2^2*uv*(u-v)^131074*(u+v)^2147450877
B=2^0*(u-v)^4*(u+v)^65533
C=2^0*(u-v)^2*(u+v)^32767
其中，u、v为正整数，u大于v。
A=4uv*(u-v)^131074*(u+v)^2147450877
B=(u-v)^4*(u+v)^65533
C=(u-v)^2*(u+v)^32767
验：
A^1=4uv*(u-v)^131074*(u+v)^2147450877
B^32769=(u-v)^131076*(u+v)^2147450877
C^65537=(u-v)^131074*(u+v)^2147450879

A^1=4uv*K
B^32769=(u-v)^2*K
C^65537=(u+v)^2*K
其中K=(u-v)^131074*(u+v)^2147450877
A^1+B^32769=C^65537正确

再令u=2，v=1，A^1+B^32769=C^65537有特解：
A=8*3^2147450877
B=3^65533
C=3^32767

费尔马1

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