一个小圆与一个半径为 1/2 的大圆互相外切，内切于一个半径为 1 的半圆，求小圆的半径

dodonaomikiki

葡萄牙语国家数学竞赛衍生题-2

小圆，大园，半圆她们三者相切
半圆半径 \(     =1    \)
大园半径自然 \(     =\frac{1}{2}        \)
求小园半径

dodonaomikiki

本来以为很简单，
然后进行硬算，
算不下去啦~~~估计应该要用到什么技巧！
我想，自己可能忽略啦什么重要的数学元素

小fisher

半圆圆心、小圆圆心、小圆与半圆切点三点共线
设小圆半径为r，小圆圆心与半圆圆心距离为l，有r+l=1
其中l=√[(0.5+r)^2 -(0.5-r)^2+r^2]=√(r^2+2r)，解得r=1/4

王守恩

好题！

在小圆,大圆,半圆弧线范围再塞一个圆，半径是多少？

不可能没有答案的吧？！

dodonaomikiki

G根据fisher老师的提示
稍作整理


\(   \ell=\sqrt{      (  0,5+r  )^2      -   (   0,5-r )^2          +r^2         }                \)
   And  \(     \ell  =1-r             \)


\(     \Longrightarrow      \ell  -2r+   r^2       =r^2  +2r             \)
\(         \Longrightarrow   \ell  = 4r              \)         
\(     \Longrightarrow   \ell  =\frac{1}{4}             \)        


We   can   find  that:
\(    \blacktriangle  XYZ              \) is   an    isosceles   triangle

【 俺  /馬蚤/涩/历史】记忆等腰三角形      

时空伴随者

王守恩 发表于 2022-11-11 13:23
好题！

在小圆,大圆,半圆弧线范围再塞一个圆，半径是多少？

如图建立直角坐标系，设四个圆心坐标分别是A(0,0),B(0,1/2),C(u,v),D(x,y)，
圆C、圆D的半径分别是r,t，则
\(u^2+v^2=(1-r)^2\)
\(u^2+(\frac12-v)^2=(\frac12+r)^2\)
\(v=r\)
解得：\(u=\frac{\sqrt2}2,v=r=\frac14\)，从而有
\(x^2+y^2=(1-t)^2\)
\(x^2+(y-\frac12)^2=(\frac12+t)^2\)
\((x-\frac{\sqrt2}2)^2+(y-\frac14)^2=(\frac14+t)^2\)
解得：\(x=y=\frac{2+6\sqrt2}{17},t=\frac{5-2\sqrt2}{17}\)
\(x=\frac{6\sqrt2-2}{17},y=\frac{2-6\sqrt2}{17},t=\frac{5+2\sqrt2}{17}\)
当y<0时，圆D的圆心在x轴下方。

王守恩

\((\frac{1}{4}+t)^2=(\frac{3}{4})^2+(1-t)^2-2(\frac{3}{4})(1-t)\cos(b)\)

\((\frac{1}{2}+t)^2=(\frac{1}{2})^2+(1-t)^2-2(\frac{1}{2})(1-t)\sin(b+a)\)

\(解得:t=\frac{5-2\sqrt{2}}{17},其中\sin(a)=\frac{1}{3},解完后知\ \ b+a=45^\circ\)

类似的，可以把这一串圆都揪出来。

dodonaomikiki

对六楼时空老师の进一步补拙【 送給资质平庸，几度狂爱学习的同志】


①②很简单，消   \(     x^2         \)
   \(     \Longrightarrow   1-3t=y         \)


然后，我得不出   \(     x=y，         \)那，我怎么计算的呢？
把②式中的   \(     【    x^2  =多少多少】         \)代入③式，
化简，
再把   \(     y=1-3t         \)代入，
   \(     \Longrightarrow     \frac{1-t}{\sqrt{2}}=x         \)



这样，结合
   \(     \begin{cases}     y=1-3t \\x=\frac{1-t}{\sqrt{2}}    \end{cases}         \)
代入①式，
   \(     \Longrightarrow     t=5-2\sqrt{2}                     \)
【就图论图】




因为资质平庸，所以我喜欢态度几度认真の人，
哪怕她/他得分只有O分
【努力之后就不会再得O分】