开个玩笑——840n+175177943 is a prime.

yangchuanju

840n+175177943 is a prime.
当n是下列62个不同的数值时，840n+175177943 都是素数，但不是连续素数。
有趣的是前11个n是连续素数！

序号        n        840n+175177943
1        2        175179623
2        3        175180463
3        5        175182143
4        7        175183823
5        11        175187183
6        13        175188863
7        17        175192223
8        19        175193903
9        23        175197263
10        29        175202303
11        31        175203983
12        33        175205663
13        34        175206503
14        35        175207343
15        36        175208183
16        38        175209863
17        41        175212383
18        43        175214063
19        51        175220783
20        52        175221623
21        56        175224983
22        71        175237583
23        72        175238423
24        75        175240943
25        80        175245143
26        83        175247663
27        84        175248503
28        87        175251023
29        90        175253543
30        91        175254383
31        94        175256903
32        106        175266983
33        109        175269503
34        110        175270343
35        113        175272863
36        121        175279583
37        122        175280423
38        123        175281263
39        135        175291343
40        138        175293863
41        149        175303103
42        152        175305623
43        154        175307303
44        155        175308143
45        156        175308983
46        162        175314023
47        164        175315703
48        172        175322423
49        175        175324943
50        176        175325783
51        178        175327463
52        181        175329983
53        184        175332503
54        188        175335863
55        189        175336703
56        199        175345103
57        204        175349303
58        208        175352663
59        212        175356023
60        217        175360223
61        218        175361063
62        228        175369463
（据A089063）

网页的注释中说：
这是一个希望（正确地）保持匿名的人开的玩笑。它唯一的优点是它产生了前 11 个素数。
COMMENTS
This was sent in as a joke by someone who wishes (rightly) to remain anonymous. Its only merit is that it produces the first 11 primes.

yangchuanju

A005846
Primes of the form n^2 + n + 41.
41, 43, 47, 53, 61, 71, 83, 97, 113, 131, 151, 173, 197, 223, 251, 281, 313, 347, 383, 421, 461, 503, 547, 593, 641, 691, 743, 797, 853, 911, 971, 1033, 1097, 1163, 1231, 1301, 1373, 1447, 1523, 1601, 1847, 1933, 2111, 2203, 2297, 2393, 2591, 2693, 2797

当n=0，1，2，……，39时都是素数；当n=40时是一个平方数。

yangchuanju

A007635
Primes of form n^2 + n + 17.
17, 19, 23, 29, 37, 47, 59, 73, 89, 107, 127, 149, 173, 199, 227, 257, 359, 397, 479, 523, 569, 617, 719, 773, 829, 887, 947, 1009, 1277, 1423, 1499, 1657, 1823, 1997, 2087, 2179, 2273, 2467, 2879, 3209, 3323, 3557, 3677, 3923, 4049, 4177, 4987, 5273

当n=0,1,2，……，15时都是素数；当n=16时是一个平方数。

yangchuanju

A048059
Primes of the form k^2 + k + 11.
11, 13, 17, 23, 31, 41, 53, 67, 83, 101, 167, 193, 251, 283, 317, 353, 431, 563, 661, 823, 881, 941, 1201, 1493, 1571, 1733, 2081, 2267, 2663, 2767, 3203, 3433, 3671, 3793, 3917, 4567, 4703, 5413, 5711, 6173, 6491, 6653, 6983, 7151, 7321

当k等于0,1,2，……9时都是素数；当k=10时是一个平方数。

yangchuanju

A356756
Positive integers m such that x^2 + x + m contains at least m/2 prime numbers for x = 1, 2, ..., m.
正整数 m 使得 x^2 + x + m 包含至少 m/2 个素数，对于 x = 1, 2, ..., m。

1, 5,11, 17, 41, 47, 59, 67, 101, 107, 161, 221, 227, 347, 377

yangchuanju

A164926
Least prime p such that x^2+x+p produces primes for x=0..n-1 and composite for x=n.
最小素数 p 使得 x^2+x+p 产生 x=0..n-1 的素数和 x=n 的复合数。

2, 3, 107, 5, 347, 1607, 1277, 21557, 51867197, 11, 180078317, 1761702947, 8776320587, 27649987598537, 291598227841757, 17

a4=5,  a10=11,  a16=17,  a40=41, a17--a39为什么数字，网页没有给出。
a3=107，表示欧拉二次三项式x^2+x+107，当x=0,1,2,3时都是素数；
a4=5，表示欧拉二次三项式x^2+x+5，当x=0,1,2,3,4时都是素数；
…………
a15=291598227841757，表示欧拉二次三项式x^2+x+291598227841757，当x=0,1,2,3,4,...15时都是素数；
a16=17，表示欧拉二次三项式x^2+x+17，当x=0,1,2,3,4,...16时都是素数；……

yangchuanju

yangchuanju 发表于 2022-11-14 19:36
A356756
Positive integers m such that x^2 + x + m contains at least m/2 prime numbers for x = 1, 2, ...

x<=p时欧拉二次三项式x^2+x+p内素数个数，个数等于p-1的有1,3,5,11,17,41，个数大于p/2的还有47,59,67,101等：               
序号        素数        素个数
1        1        0
2        3        2
3        5        4
4        7        4
5        11        10
6        13        4
7        17        16
8        19        6
9        23        10
10        29        13
11        31        15
12        37        16
13        41        40
14        43        8
15        47        26
16        53        19
17        59        34
18        61        21
19        67        36
20        71        28
21        73        18
22        79        18
23        83        34
24        89        27
25        97        31
26        101        68

yangchuanju

2n^2+2n+19也是一条重要的素数链，给定n=0,1,2,3……，前18项都是素数。
第19项703=19*37=19*(2*19+1）不再是素数，再向后链条中亦含有多个素数。

类似素数链还有2n^2+2n+3,  2n^2+2n+7，链长分别是2和6，在p=11-97的素数中没有再找到相似的素数链。

2n^2+2n+p与2n^2-2n+p的区别：
2(n+1)^2-2(n+1)+p=2n^2+4n+2-2n-2+p=2n^2+2n+p
两种表达式中的参变量相差1。
同样n^2+n+p与n^2-n+p相比也相差1：
(n+1)^2-(n+1)+p=n^2+2n+1-n-1+p=n^2+n+p

n        2n^2+2n+19      
0        19        素数
1        23        素数
2        31        素数
3        43        素数
4        59        素数
5        79        素数
6        103        素数
7        131        素数
8        163        素数
9        199        素数
10        239        素数
11        283        素数
12        331        素数
13        383        素数
14        439        素数
15        499        素数
16        563        素数
17        631        素数
18        703        =19*37
19        779        =19*41
20        859        素数
21        943        =23*41
22        1031        素数
23        1123        素数
24        1219        =23*53
25        1319        素数

yangchuanju

又找到一组二次式10n^2+19，当n=0-18时的19个数都是素数，又多了一级。               
n        10n^2+19      
0        19        素数
1        29        素数
2        59        素数
3        109        素数
4        179        素数
5        269        素数
6        379        素数
7        509        素数
8        659        素数
9        829        素数
10        1019        素数
11        1229        素数
12        1459        素数
13        1709        素数
14        1979        素数
15        2269        素数
16        2579        素数
17        2909        素数
18        3259        素数
19        3629        =19*191
20        4019        素数

yangchuanju

再来一组

然而8n^2+8n+31仅当n=0-13时为连续素数（14个）：               
n         8*n^2+8*n+31        分解式
0        31        31 is prime
1        47        47 is prime
2        79        79 is prime
3        127        127 is prime
4        191        191 is prime
5        271        271 is prime
6        367        367 is prime
7        479        479 is prime
8        607        607 is prime
9        751        751 is prime
10        911        911 is prime
11        1087        1087 is prime
12        1279        1279 is prime
13        1487        1487 is prime
14        1711        1711=29*59
15        1951        1951 is prime
16        2207        2207 is prime
17        2479        2479=37*67
18        2767        2767 is prime
19        3071        3071=37*83
20        3391        3391 is prime
21        3727        3727 is prime
22        4079        4079 is prime
23        4447        4447 is prime
24        4831        4831 is prime
25        5231        5231 is prime
26        5647        5647 is prime
27        6079        6079 is prime
28        6527        6527=61*107
29        6991        6991 is prime
30        7471        7471=31*241
31        7967        7967=31*257
32        8479        8479=61*139
33        9007        9007 is prime
34        9551        9551 is prime
35        10111        10111 is prime
36        10687        10687 is prime
37        11279        11279 is prime
38        11887        11887 is prime
39        12511        12511 is prime
40        13151        13151 is prime
41        13807        13807 is prime
42        14479        14479 is prime