\(\Large[0,1] \textbf{不可数无法推翻的证明}\)

elim

\([0,1]\) 是不可数无穷集: 首先它是无穷集:\(\;\{\frac{1}{n}\mid n\in\mathbb{N}^+\}\subset[0,1]\);
其次它不是可数无穷集: 否则, \([0,1]\)的元素可排成不重不漏的序列\(x_1,x_2,x_3.\ldots\)
令\(I_0=[0,1],\,I_1\)是\(I_0\)的3个三等分相邻闭子区间中第一个不含\(x_1\)的子区间，
假定闭子区间\(I_1\supset I_2\supset\cdots\supset I_{n-1},\,x_k\not\in I_k,\,k=\overline{1,n-1}\)已取定，
取第一个不含\(x_n\)的\(I_{n-1}\)的三等分相邻闭子区间为\(I_n\). 易见区间 \(I_n\)长\(3^{-n}\),
据区间套定理，存在一实数 \(\xi\in\bigcap_{n=1}^\infty I_n\subset [0,1]\), 但排列\(x_1,x_2,x_3,\ldots\)
不含\(\xi\). 这个矛盾说明\([0,1]\)只能是不可数无穷集.

elim

APB先生 发表于 2024-8-18 18:21
你还可以扯到 [0,1] 与 P(P(N)) 不对等。

[0,1] 与 \(\mathscr{P}(\mathbb{N})\) 对等，所以与 \(\mathscr{P}({\mathscr{P}(\mathbb{N}))}\) 不对等。

APB先生

elim 发表于 2024-8-18 00:42
本贴旨在证明 \([0,1]\)与\(\mathscr{P}(\mathbb{N})\) 对等。用康托幂集定理证明\([0,1]\)不可数.

令  ...

你还可以扯到 [0,1] 与 P(P(N)) 不对等。

elim

本贴旨在证明 \([0,1]\)与\(\mathscr{P}(\mathbb{N})\) 对等。用康托幂集定理证明\([0,1]\)不可数.

令 \(\mathscr{L}(\mathbb{N}_+)=\{A\in\{B,B^c\}:\;B\subset\mathbb{N},\;0< |B|\in\mathbb{N}_+\}\) 易见 \(\mathscr{L}(\mathbb{N_+})\) 可数。
\(\quad\)\(\bigg(A\mapsto \displaystyle\sum_{n\in\mathbb{N}_+}2^n\chi_A(n) \) 是\(\mathbb{N}_+\)的有限子集到\(\mathbb{N}\) 的单射.\(\bigg)\)
令 \(C_0 =  \displaystyle\{{\small\sum_{k=1}^\infty\frac{\chi_A(k)}{2^k}}\mid A\in\mathscr{L}(\mathbb{N}_+)\},\;C=[0,1)-C_0\)
\(\quad\)对 \(\alpha\in C,\;\;a_k=\lfloor 2^k\alpha\rfloor -2\lfloor 2^{k-1}\alpha\rfloor,\;(k=1,2,3,\ldots)\),
\(\quad\)由 \(2^{n-1}\alpha=\lfloor 2^{n-1}\alpha\rfloor+\beta\) 得 \(\lfloor 2^k\alpha\rfloor -2\lfloor 2^{k-1}\alpha\rfloor=\lfloor 2\beta\rfloor\in\{0,1\}\)
\(\quad\)且 \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{a_n}{2^{n}}=\lim_{m\to\infty}\sum_{n=1}^m\big(\frac{\lfloor 2^n\alpha\rfloor}{2^n}-\frac{\lfloor 2^{n-1}\alpha\rfloor}{2^{n-1}}\big)\)
\(\qquad\displaystyle =\lim_{n\to\infty}\frac{\lfloor 2^n\alpha\rfloor}{2^n} =\lim_{n\to\infty}\frac{2^n\alpha-(2^n\alpha-\lfloor 2^n\alpha\rfloor) }{2^n} = \alpha\)
\(\therefore\quad \alpha\in C\) 与 \(A=\{n\in\mathbb{N}_+:\;\lfloor 2^n\alpha\rfloor -2\lfloor 2^{n-1}\alpha\rfloor = 1\}\in\mathscr{P}(\mathbb{N}_+)-\mathscr{L}(\mathbb{N}_+)\)
\(\qquad\)的关系是1-1对应.  故\(|\mathbb{R}|=|C|=|\mathscr{P}(\mathbb{N})-\mathscr{L}(\mathbb{N}_+)|=|\mathscr{P}(\mathbb{N})|=2^{\aleph_0}>\aleph_0\)

elim

APB先生 发表于 2024-8-13 06:36
大傻瓜：要证明 [0, 1] 是否可数? 只需证明 [0, 1] 能否与 N 对等就可以了，与 P(N) 无关；你卖弄学问的 ...

APB 研究【最傻定理】很长时间了，成效全无的原因主要是不识数，其次是不识对等．

APB先生

elim 发表于 2024-8-13 11:18
本贴旨在证明 \([0,1]\)与\(\mathscr{P}(\mathbb{N})\) 对等。用康托幂集定理证明\([0,1]\)不可数.

令  ...

大傻瓜：要证明 [0, 1] 是否可数? 只需证明 [0, 1] 能否与 N 对等就可以了，与 P(N) 无关；你卖弄学问的扯了那么多废话，华而不实，浪费时间，没啥鸟用。

elim

本贴旨在证明 \([0,1]\)与\(\mathscr{P}(\mathbb{N})\) 对等。用康托幂集定理证明\([0,1]\)不可数.

令 \(\mathscr{L}(\mathbb{N}_+)=\{A\in\{B,B^c\}:\;B\subset\mathbb{N},\;0< |B|\in\mathbb{N}_+\}\) 易见 \(\mathscr{L}(\mathbb{N_+})\) 可数。
\(\quad\)\(\bigg(A\mapsto \displaystyle\sum_{n\in\mathbb{N}_+}2^n\chi_A(n) \) 是\(\mathbb{N}_+\)的有限子集到\(\mathbb{N}\) 的单射.\(\bigg)\)
令 \(C_0 =  \displaystyle\{{\small\sum_{k=1}^\infty\frac{\chi_A(k)}{2^k}}\mid A\in\mathscr{L}(\mathbb{N}_+)\},\;C=[0,1)-C_0\)
\(\quad\)对 \(\alpha\in C,\;\;a_k=\lfloor 2^k\alpha\rfloor -2\lfloor 2^{k-1}\alpha\rfloor,\;(k=1,2,3,\ldots)\),
\(\quad\)由 \(2^{n-1}\alpha=\lfloor 2^{n-1}\alpha\rfloor+\beta\) 得 \(\lfloor 2^k\alpha\rfloor -2\lfloor 2^{k-1}\alpha\rfloor=\lfloor 2\beta\rfloor\in\{0,1\}\)
\(\quad\)且 \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{a_n}{2^{n}}=\lim_{m\to\infty}\sum_{n=1}^m\big(\frac{\lfloor 2^n\alpha\rfloor}{2^n}-\frac{\lfloor 2^{n-1}\alpha\rfloor}{2^{n-1}}\big)\)
\(\qquad\displaystyle =\lim_{n\to\infty}\frac{\lfloor 2^n\alpha\rfloor}{2^n} =\lim_{n\to\infty}\frac{2^n\alpha-(2^n\alpha-\lfloor 2^n\alpha\rfloor) }{2^n} = \alpha\)
\(\therefore\quad \alpha\in C\) 与 \(A=\{n\in\mathbb{N}_+:\;\lfloor 2^n\alpha\rfloor -2\lfloor 2^{n-1}\alpha\rfloor = 1\}\in\mathscr{P}(\mathbb{N}_+)-\mathscr{L}(\mathbb{N}_+)\)
\(\qquad\)的关系是1-1对应.  故\(|\mathbb{R}|=|C|=|\mathscr{P}(\mathbb{N})-\mathscr{L}(\mathbb{N}_+)|=|\mathscr{P}(\mathbb{N})|=2^{\aleph_0}>\aleph_0\)

elim

APB  除了啼猿声，沒敢否证主贴．

APB先生

大骗子：谁会在乎你的无耻吹牛 ？？你的证明不过是伪证上的伪证，你的 \(\xi\) 不过是（0,1）中的一个小数，它绝对可与 1 对等：\[0<\xi<1{,}\ \ \ \xi\ \leftrightarrow\ 1\] 从 [0,1] 可数会遗漏 \(\xi\) ，除了e 大傻瓜，谁也不会这么认为。

elim

A P B 的胆子倒是大，称[0,1]可数就凭喊口号？
可谁会在乎不识数的猿声呢？

APB先生

elim 发表于 2024-8-11 21:28
APB 给不出[0,1] 全部成员的不重不漏的编号，扯这些没用的屁用？
推翻了主贴的证明了？

你所谓的证明跟康托尔的对角线法证明是一路货色——谎话连篇，一文不值 ！！康还好歹能伪造个不在 (0,1) 中的“新小数”\[b=0.a_{11}a_{22}a_{33}\cdots\ \notin\left( 0{,}\ 1\right)\]充充门面；而你连 \(\xi\) 的一点点详细说明都不敢写，你心虚 ！怕露馅！