关于中学阶段根式和分数指数幂互化的疑问

永远

首先这两个式子有什么区别

\(a^{\frac{m}{n}}=\left( a^m\right)^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a^m}\)      (1)

\(a^{\frac{m}{n}}=\left( a^{\frac{1}{n}}\right)^m=\left( \sqrt[n]{a}\right)^m\)      (2)

其次为什么不规定\(a^{\frac{m}{n}}=\left( \sqrt[n]{a}\right)^m\) 呢？

另外说明规定\(a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}\)的合理性。


红圈部分说合理性规定省略，每次到关键部分都给省略！谁来解读一下此处合理性。

Nicolas2050

:lol；你这悟性，永远在初等数学里打转。

mathmatical

定义域不同，

永远

求助于陆老师，其他老师勿扰！！！！

永远

陆老师好，我怀疑指数幂转化为根式还有其它形式存在，但我不会，记得以前您老在陆老师数学园地里发表的一个帖子中有很多理论，随着网站关闭也找不到了，很遗憾

波斯猫猫

该规定的合理性的实例在高中课本上（原来）是有的，其条件限制明明白白。但是，由根式化为分数指数幂要符合限制条件。转化的形式是唯一的！
限制条件：a＞0且a≠1，m，n∈N＋，n＞1，且m与n互素。

波斯猫猫

仿此规定，可随便举出实例。

永远

求助于陆老师，

波斯猫猫

首先那两个式子为何规定（1）而不是（2）？根据从简，便于理解和记忆原则，（1）分数指数的分母n做根指数，而分子m做被开方数a（原底数）的指数。（2）分数指数的分母n做根指数，被开方数是原底数a，以这个根式做底数，再给这个底数以分子（m）次方。谁优自明。况且（1）和（2）的右边相等。

永远

楼上的解释等于没说