按照例题思路推导两点分布的期望值为什么不对？

wufaxian

请看下图的例子以及红线中给出的期望值公式。如果将题目改为投资成功收益是1，失败损失是0，那这不就是两点分布的期望。那么我代入红线部分的公式：\(\frac{1\cdot np+0\cdot n\left( 1-p\right)}{n}=p\)
这与两点分布的期望值是np的结果不同。这个推导错在哪里？

luyuanhong

参数为 p 的两点分布的期望值就是 p 。

只有参数为 (n,p) 的二项分布，期望值才是 np 。

wufaxian

luyuanhong 发表于 2022-11-18 18:49
参数为 p 的两点分布的期望值就是 p 。

只有参数为 (n,p) 的二项分布，期望值才是 np 。

谢谢lu老师的回复。现在关于这个问题，在我脑海中有两种矛盾的观点。
1、二项分布的均值等于np，这一点我是接受的。因为看过推导过程。
2、一楼帖子截图中红线部分计算平均收益的公式我也觉得合理。这个思路看起来是两点分布。

假设，我将截图中的例子，改为：“投资成功率是P，投资成功获利1元，投资失败损失0元 ”那么n次投资形成的分布是二项分布？还是两点分布？如果是二项分布。那么n次投资的期望值是毫无疑问应该是np
但是如果按照截图中的思路，期望值似乎应该是：\(\frac{1\cdot np+0\cdot n\left( 1-p\right)}{n}=p\)

结果是矛盾的！但是我不知道以上哪个结果错了？


如果结果np错了。那么说明“投资成功率是P，投资成功获利1元，投资失败损失0元”不是二项分布。

其实\(\frac{1\cdot np+0\cdot n\left( 1-p\right)}{n}=p\) 和二项分布期望值的区别就是分母有个n，但是我觉得这个n也很合理。

所以“投资成功率是P，投资成功获利1元，投资失败损失0元 ”那么n次投资后的期望值究竟应该是什么？

luyuanhong

上面所说“投资求期望值”的问题，是一个两点分布问题。

因为问题中要求的期望值，就是投资一次得到的收益的期望值，

并不是投资 n 次总共得到的收益的期望值。

“投资一次得到收益的期望值”的概率意义是，你可以反复多次做“投资一次”的实验，

今天投资一次，明天投资一次，……，把每次投资的收益记下来，看看平均每一次投资，

可以得到多少收益，这个“平均每一次收益”趋近的值，就是“每一次投资收益的期望值”，

也就是两点分布的期望值 p 。

如果问题是求投资 n 次后总共得到的收益的期望值，那就是要反复多次做“投资 n 次”的实验，

今天投资  n 次，明天投资  n 次，……，把每个  n 次投资的收益记下来，看看平均每 n 次投资，

可以得到多少收益，这个“平均每 n 次收益”趋近的值，就是“每 n 次投资得到收益的期望值”，

那就不是 p 而是 np 了。

wufaxian

luyuanhong 发表于 2022-11-20 00:33
上面所说“投资求期望值”的问题，是一个两点分布问题。

因为问题中要求的期望值，就是投资一次得到的收 ...

谢谢lu老师，我明白了。1楼截图中红色下划线的部分，作者怕有些人直觉上不接受两点分布的期望值是5000p+(-3000)(1-P)。 所以他引入了n，假设做了n次实验来证明两点分布的期望就是5000p+(-3000)(1-P)

另，关于两点分布和一般分布，如下理解是否正确。假设赌场有一个赌赢币正反面的游戏。如果是正面，赌场赢赌客1元，如果是反面，赌场赔给赌客0.9元。所以玩一次这个游戏，赌场方的期望值是 0.5*1+（-0.9)*0.5=0.05 。这就是一个两点分布的期望。如果我们假设游戏规定赌客一次只能赌1元，我们就说这个游戏赌场优势是5分钱。此时说的还是两点分布的期望值。
如果赌客下注没有限额。那么我就说赌场优势是5%。 这5%其实还是从两点分布的期望值间接计算出来的。

但是如果一局游戏中赌客下了1000元赌注，这时问题就转化成二项分布了。此时期望值就是n*两点分布的期望值=np=1000*0.05=50元

luyuanhong

你的理解正确。