林开亮：郑大军老师的悬赏征解问题

luyuanhong

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悬赏征解发出去之后，很快就收到网友的解答，最终由网名为“点点滴滴”的数学爱好者圆满解决了该问题，并摘得红包奖励。现征得其同意，将该问题的解答发布如下。

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如果 f(x)=0 的三个正整数解是 X1,X2,X3 ，

由韦达定理可知,

a=X1+X2+X3

b=X1X2+X2X3+X3X1

c=X1X2X3

问题转化成：如果知道三个正整数 u,v,w 之积 uvw ，以及他们交叉乘积之和 uv+vw+wu ，能否确定这三个正整数之和 u+v+w ？

答案是否定的！

我们很容易找到一组反例 (4,10,15) 和 (5,6,20) ，

此时 4×10×15=5×6×20=600 ，

4×10+10×15+15×4=5×6+6×20+20×5=250，

但是 29=4+10+15≠5+6+20=31，

因此猜想不成立。

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郑老师收到解答后也很欣喜，并对该问题的提出背景作了反馈，如下：

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这道红包征解题的原型是一道小学数学题，原题是这样的，用 6 个棱长为 1cm 的正方体拼成一个长方体，问拼成的长方体的表面积是多少？

这道题本质上是将一个正整数分解成三个正整数的乘积，比如 6 可以分解为 6=1×1×6 和 6=1×2×3 ，这样长方体的表面积就有两种情况，分别是 2×(1×1+1×6+1×6)=26 平方厘米和 2×(1×2+1×3+2×3)=22 平方厘米。

作为青庭教育的一名数学老师，在教学的过程中，为确保学生真正掌握了这道题，我把正方体的个数进行变化，于是很自然产生了一个问题，是不是只要分解的三个因数不完全相同，正方体的表面积就不一样呢？

带着这个问题，我跟林老师讨论，林老师建议我进行悬赏征解，我觉得这个主意太好了！

林老师很快那这道题做了一个等价命题的转化并发布出去。

让我十分惊喜的是，居然很快就有好多人加我的微信来进行征解。这次有奖征解的经过真的让我很开心，让我又燃起了对数学的一种不一样的热情，一种探索的热情，让我感觉到，原来这个世界上还是有那么多的人，也是热爱数学的。

最后，还是要感谢林老师的帮助，让我有了这样一次难忘的体验和突破！

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感谢郑老师的悬赏征解，也感谢这位不愿透露姓名的朋友提供的解答，[好玩的数学]愿意为更多数学爱好者搭建沟通的桥梁，欢迎大家投稿本公众号以文会友。

白新岭

看了答案才理解了题意的深奥之处。惭愧！

时空伴随者

积为600，还有一组反例 (3,10,20) 和 (4,5,30) ，

此时 3×10×20=4×5×30=600 ，

3×10+10×20+20×3=4×5+5×30+30×4=290，

然而 33=3+10+20≠4+5+30=39，相差值=6

luyuanhong

楼上 时空伴随者 的另一解答已收藏。