\(求证:\frac{t-1}{m-1}＝c，\frac{v-1}{m-1}＝f，\cdots，\frac{y-1}{m-1}＝k\)

太阳

\(已知:整数a＞0，c＞0，f＞0，\cdots，k＞0，\frac{p-1}{m-1}＝a，m是2^p-1的最小质因数\)
\(质数p＞0，t＞0，v＞0，\cdots，y＞0，\frac{2^p-1}{m}＝p\times t\times v\times\cdots\times y\)
\(求证:\frac{t-1}{m-1}＝c，\frac{v-1}{m-1}＝f，\cdots，\frac{y-1}{m-1}＝k\)

yangchuanju

梅森数2^p-1的最小素因子m至少是2p+1，m>2p；
请问先生：
p-1怎么能会被m-1整除呢？
2^p-1会不会有素因子p？
(2^p-1)/m怎么会有素因子p呢？

yangchuanju

梅森数都是模8余7型的奇数；
梅森因子都是模24余1,7,17,23型的奇素数，或者说都是模8余1和7型的奇素数。

梅森因子都是指数p的偶数倍加1型的奇素数；
倍数值只能是2,6,8；10,14,16；18,22,24；……
梅森因子减1除以指数“必定是整数”，进一步“必定是偶数”！

梅森因子减1除以最小素因子减1，可以是整数（整除），也可以是分数（不整除）！
这里的梅森因子可以是梅森数的素因子，也可以是它的复合因子。

太阳

命题修改一下
\(已知:整数a＞0，c＞0，f＞0，\cdots，k＞0，\frac{t-1}{m-1}＝a\)
\(m是2^p-1的最小质因数，t是\frac{2^p-1}{m}的最小质因数\)
\(质数p＞0，t＞0，v＞0，w＞0\cdots，y＞0，\frac{2^p-1}{m}＝t\times v\times w\cdots\times y\)
\(求证:\frac{v-1}{m-1}＝c，\frac{w-1}{m-1}＝f，\cdots，\frac{y-1}{m-1}＝k\)

yangchuanju

满足(t-1)/(m-1)是整除的倒是不少，除(t-1)/(m-1)是整除外，另两个比值也都是整数（三整数），       
其中p=179,443,577,683,719是3素因子梅森数，y因子必定是素数；其余的y因子必定是合数！       
指数p        素因子个数
179        3
191        5
233        4
239        6
251        5
359        6
419        5
431        8
443        3
461        4
491        7
557        5
577        3
659        4
683        3
719        3
743        7
911        4
1019        5

yangchuanju

已知梅森数的各个因子（包括素因子和复合因子）必须是指数p的2,6,8；10,14,16；18,22,24；……倍再加1；
(m-1)/p=2k1*p+1,  k1=1,3,4;5,7,8;9,11,12;……
(t-1)/(m-1)=2k2*p/(2k1*p)=k2/k1,  k1=3,4;5,7,8;9,11,12;……  
(y-1)/p=2k3*p+1,  (ty-1)/p=2k4*p/p，……
(t-1)/(m-1)=2k2*p/(2k1*p)=k2/k1,  (y-1)/(m-1)=k3/k1,  (ty-1)/(m-1)=k4/k1，……
对于其它素因子及复合因子，因子减1除以最小素因子减1的商都等于某一个kn除以k1；
当k1等于1时，必然有(t-1)/(m-1),  (y-1)/(m-1),  (ty-1)/(m-1)及其它因子减1除以最小素因子m减1，都是整数。

kn>……>k3>k2>k1，均是大于号，不可能相等；kn/k1,……,k3/k1,k2/k1等于多少，无特定关系。
（比值不确定，但对于一个特定的梅森数，这些比值都是确定的大于1的正数。）

当k1等于3,4,5,7,8……时只对于个别梅森数能够部分整除或全部整除。
经查对上面的三整除的19个梅森数中，只有p=233,461,557,577等少数几个的k1=3外，其余的梅森数的k1都等于1；
p=233,461,557的第3,4,5素因子能不能整除，未检验，结果不详。

yangchuanju

2^233-1<71>
=1399·135607·622577·1168681298...31<57>

2^461-1<139>
=2767·358228856441770927<18>·7099353734763245383<19>·8461346092...33<99>

2^557-1<168>
=3343·21993703·4565508951414453792719<22>·22053236096920219270632521586535711<35>·6372521752...11<101>

2^577-1<174>
=3463·132305774316967<15>·1079633141...51<157>

2^233-1        素因子        除以最小素因减1
第1素因子m        1399        1
第2素因子t        135607        97
第3素因子        622577        445.3333333
第4素因子        116868129879077600270344856324766260085066532853492178431       
不整除        ————        83596659427094134671205190504124649560133428364443618.333
34素因子积y        72759409695726495143510489616104003904980466824328599971036687       
整除        ————        52045357436141985081194913888486411949199189430850214571557
234因子积ty        9866685270608382826926026965371015657542686164646728456272372014009       
整除        ————        7057714785842906170905598687675976865195054481149305047405130196
第3-4素因子减1不能整除第1素因子减1；但将第3-4素因子组合成复合因子y，第2-4素因子组合成复合因子ty时都出现整除现象！               

yangchuanju

2^461-1        素因子        除以最小素因减1
第1素因子m        2767        1
第2素因子t        358228856441770927        129511517151761
第3素因子        7099353734763245383        2566649940261477
第4素因子        846134609236527432935428641453947808692744612842997575850108349114305165850593069285923876628410633       
整除        ————        305905498639380850663567838558910993742857777600505269649352259260414015130366257876328227269852
34素因子积y        6007008898195780254099858624737439612399642198003023787214955336237005469508142749638058815125942863599949644265357439       
整除        ————        129511517151761
234因子积ty        2151883928236216713906780135243416387938211068576259324114914243472279381360663457856218679959216165187483403324370267304486973813375953       
整除        ————        777976835949463743277939311367829496723865173021062662369817152376095221026993296404995907432833031521143674376128079285787047654872
第3-4素因子减1都能整除第1素因子减1；另将第3-4素因子组合成复合因子y，第2-4素因子组合成复合因子ty时也都出现整除现象！               

yangchuanju

2^557-1        素因子        除以最小素因减1
第1素因子m        3343        1
第2素因子t        21993703        6581
第3素因子        4565508951414453792719        1366100823283798262.333
第4素因子        22053236096920219270632521586535711       
整除        ————        6598813912902519231188665944505
第5素因子        63725217520100446091019213316114800470054259870518161822841838235099774015887061706672583915057828311       
不整除        ————        19067988485966620613710117688843447178352561301770844351538551237312918616363573221625548747773138.333
345素因子积y        6416125528696558168688268234810295605564949381116559270010369428469312695837126915215901320575633117248770546631104498924016155625521277184128812176074684999       
整除        ————-        1919846058855942001402833104371722203939242783098910613408249380152397575055992494080161975037592195466418475951856522718137688697044068576938603284283269
2345因子积ty        141114359288870077484353671140751902891000643898311412966504872130033808046371105746564714522048263817733636517752162911298630894029494190568405408743370327686561297       
整除        ————        42224524024198108164079494656119659751945135816370859654848854617005927003701707285028340670870216582206354433797774659275473038309244222192820289869350786261688
第3、第5素因子减1不能整除第1素因子减1；但将第3-5素因子组合成复合因子y，第2-5素因子组合成复合因子ty时都出现整除现象！               

yangchuanju

2^557-1        素因子        除以最小素因减1
第1素因子m        3463        1
第2素因子t        132305774316967        38216572593
第3素因子y        1079633141772892852450713464662329764119217100464362618290526362027911012565069142996396993157133020422681868025602819574600599624729277860300320636162145551       
整除        ————        311852438409270032481430810127767118463089861485951074029614778170973718245253940784632291495416816990953745819064939218544367309280553974667914684044525
23素因积ty        142841698800522399110887970557116482838655125094549142312482273227200245513446068247367254439066153618017713789209436522871131986316344909019662809761416787708118262863817       
整除        ————        41259878336372732267731938346942947093776754793341751101236936229693889518615271013104348480377282963032268569962286690604024259479013549687944196927041244283107528268
第2-3素因子减1都能整除第1素因子减1；另将第2-3素因子组合成复合因子ty时也能整除！——太阳炸弹也！