鲁老师出的这个题厉害啊

费尔马1

不定方程X^2+Y^n=Z^2
其中一个答案是：
X=2^(n-1)*(a^n -b^n)
Y=4ab
Z=2^(n-1)*(a^n +b^n)
其中，a、b为正整数，a＞b
注：此题存在本原解，即存在X、Y、Z两两互质的解（通解式另祥）。
例，当指数n=9时，不定方程X^2+Y^9=Z^2
其中一个解是：
X=19201502884
Y=105
Z=19241856491
不定方程X^2+Y^4=Z^2
其中一个解是：
X=3
Y=2
Z=5

费尔马1

不定方程X^2+Y^n=Z^2
其中一个答案是：
X=(a^n -b^n)/2
Y=ab
Z=(a^n +b^n)/2
其中，a、b为互质的奇数，a＞b
注：此解为本原解，即X、Y、Z两两互质。

费尔马1

。。。。

lusishun

费尔马1 发表于 2022-11-21 11:59
不定方程X^2+Y^n=Z^2
其中一个答案是：
X=(a^n -b^n)/2

都没有注意啊！

yangchuanju

不定方程X^2+Y^n=Z^2
其中一个答案是：
X=2^(n-1)*(a^n -b^n)，Y=4ab，Z=2^(n-1)*(a^n +b^n)
其中，a、b为正整数，a＞b

验：2^(n-1)^2=4^(n-1)，例令n=4，2^3=8,  2^3^2=4^3=64
X^2=4^(n-1)*(a^2n -2a^n*b^n+b^2n)，Y^n=4^n*a^n*b^n，
X^2+Y^n=4^(n-1)*(a^2n -2a^n*b^n+b^2n)+4^n*a^n*b^n=4^(n-1)*(a^2n +2a^n*b^n+b^2n)
Z^2=4^(n-1)*(a^2n +2a^n*b^n+b^2n)=X^2+Y^n
检验正确！

（原贴错误，已修正）

yangchuanju

费尔马1 发表于 2022-11-21 19:59
不定方程X^2+Y^n=Z^2
其中一个答案是：
X=(a^n -b^n)/2

不定方程X^2+Y^n=Z^2
其中一个答案是：
X=(a^n -b^n)/2，Y=ab， Z=(a^n +b^n)/2
其中，a、b为互质的奇数，a＞b

验：X^2=(a^n-b^n)^2/4=(a^2n-2a^n*b^n+b^2n)/4
Y^n=a^n*b^n=4a^n*b^n/4
X^2+Y^n=(a^2n-2a^n*b^n+b^2n)/4+4a^n*b^n/4=(a^2n+2a^n*b^n+b^2n)/4
Z^2=(a^n+b^n)^2/4=(a^2n+2a^n*b^n+b^2n)/4= X^2+Y^n

验：令n=3，X^2=(a^3-b^3)^2/4=(a^6-2a^3*b^3+b^6)/4
Y^3=a^3*b^3=4a^3*b^3/4
X^2+Y^3=(a^6-2a^3*b^3+b^6)/4+4a^3*b^3/4=(a^6+2a^3*b^3+b^6)/4
Z^2=(a^3+b^3)^2/4=(a^6+2a^3*b^3+b^6)/4= X^2+Y^n
无法变成鲁思顺的X=Y= a^2-1和Z=a*（a^2-1）的形式。

yangchuanju

朱明君不定方程（11），求不定方程x^2+y^n=z^2的正整数解
设[y^ (n-1)-y]/2=x，[y^ (n-1)+y]/2=z，
其中y为大于等于2的正整数，n为大于等于4的正整数，
则x^2+y^n=z^2，

解朱明君方程：Z^2=[Y^(2n-2)+2*Y^n+Y^2]/4,  X^2=[Y^(2n-2)-2*Y^n+Y^2]/4
Z^2-X^2=2*Y^n/4+2*Y^n/4=Y^n
朱明君没有解到底。
Z-X=[Y^(n-1)+Y]/2-[Y^(n-1)-Y]/2=Y
Z+X=[Y^(n-1)+Y]/2+[Y^(n-1)-Y]/2=Y^(n-1)
两个方程解不出三个未知量。

程中战：不定方程X^2+Y^n=Z^2
其中一个答案是：
X=(a^n -b^n)/2，Y=ab， Z=(a^n +b^n)/2
其中，a、b为互质的奇数，a＞b

按程中战解法，对于朱明君方程，设Y=ab，
则Z-X=ab,  Z+X=a^(n-1)*b^(n-1)
2Z= a^(n-1)*b^(n-1)=ab,  2X=a^(n-1)*b^(n-1)-ab
X=[a^(n-1)*b^(n-1)-ab]/2,  Y=ab,  Z=[a^(n-1)*b^(n-1)+ab]/2

令n=3,  X=[a^2*b^2-ab]/2,  Y=ab,  Z=[a^2*b^2+ab]/2
X^2+y^n=[a^4*b^4-2*a^3*b^3+a^3*b^3]/4+4a^3*b^3/4=[a^4*b^4+3*a^3*b^3]/4
Z^2=[a^4*b^4+2*a^3*b^3+a^3*b^3]/4=[a^4*b^4+3*a^3*b^3]/4
X^2+y^n=Z^2

yangchuanju

同一个不定方程X^2+Y^3=Z^2，鲁思顺、朱明君、程中战分别给出三套解：
鲁思顺：X=Y=a^2-1,  Z=a*(a^2-1)
朱明君：按程中战方法解到底得X=[a^2*b^2-ab]/2,  Y=ab,  Z=[a^2*b^2+ab]/2
程中战：X=(a^3 -b^3)/2，Y=ab， Z=(a^3 +b^3)/2
其中，a、b为互质的奇数，a＞b

再来一个勾股方程X^2+Y^2=Z^2，仍按鲁思顺、朱明君、程中战的各自解法有：
鲁思顺：方程无整数解，X=Y，X^2+Y^2=2*X^2，2的平方根不是整数；
朱明君：X=0,  Y=ab,  Z=ab，不是正整数解；
程中战：X=(a^2-b^2)/2,  Y=ab,  Z=(a^2+b^2)/2，它是勾股方程的一组通解。

看来，还是程老师道义深！

费尔马1

yangchuanju 发表于 2022-12-14 16:35
不定方程X^2+Y^n=Z^2
其中一个答案是：
X=2^(n-1)*(a^n -b^n)，Y=4ab，Z=2^(n-1)*(a^n +b^n)

老师您好：
这个题学生我当时解完答案就已经检验了，是正确的答案。今天我又检验了一遍，还是正确。请老师再仔细的验算一下，列一个具体的数字例子检验更明显。

yangchuanju

解鲁氏250之崽——25不定方程
仿程中战的函数不定方程的解法
Y^26+X^25=Z^25
Y=m^[25k+1]
X=bm^[26k+1]
Z=am^[26k+1]
其中，a、b为正整数，k为自然数，
m=a^25－b^25，且m>0

验：令k=0，则Y=m,  X=bm,  Z=am;
Y=a^25-b^25,  X=b*a^25-b^26,  Z=a^26-a*b^25;
Y^26=(a^25-b^25)^26
=a^25^26-26*a^25^25*b^25+325*a^25^24*b^25^2-…-26*a^25*b^25^25+b^25^26
=a^650-26*a^625*b^25+325*a^600*b^50-…-26*a^25*b^625+b^650
X^25=(a^25*b-b^26)^25
=a^25^25*b^25-25*a^25^24*b^24*b^26+300*a^25^23*b^23*b^26^2-…-25*a^25*b*b^26^24+ b^26^25
=a^625*b^25-25*a^600*b^50+300*a^575*b^75-…+25*a^25*b^625-b^650
Z^25=(a^26-a*b^25)^25
=a^26^25-25*a^26^24*a*b^25+300*a^26^23*a^2*b^25^2-…-25*a^26*a^24*b^25^24+a^25*b^25^25
=a^650-25*a^625*b^25+300*a^600*b^50-…+25*a^50*b^600-a^25*b^625
经检验，Y^26+X^25=Z^25，通解正确！
附：二项式系数
1        25        300        2300        12650        53130        177100        480700        1081575        2042975        3268760        4457400        5200300……
1        26        325        2600        14950        65780        230230        657800        1562275        3124550        5311735        7726160        9657700……