平面图不可避免构形的科学分类与四色猜测被彻底证明是正确的！（二）

雷明85639720

（接上一贴）

平面图不可避免构形的科学分类与四色猜测被彻底证明是正确的！（二）
雷   明
（二○二二年九月二十日）

14、无任何环形链的H—构形的连续转型的可约方法：
本节得到了无任何环形链的H—构形都是可以在有限次连续转型交换之内解决可约性问题的结论。
对于无任何环形链的H—构形，由四种颜色可能构成的六种色链已有A—C链，A—D链，A—B链，C—D链都不能交换了，而B—C链和B—D链也不能一前一后连续的交换，也不能连续的移去两个同色B。既然是这样，我们就先进行一条关于两个同色B的链的交换，使构形转型。所谓转型，就是每进行一次这样的交换后，都会使构形的峰点和两个同色顶点的位置和颜色都发生一次变化，使构形转化成新的构形类型。每一次转型，交换的都是关于两个同色的链。可以逆时针方向转型，也可以顺时针方向转型。但转型开始时是什么方向的转型，以后都得总要是保证相同方向的转型。如BAB型的构形，从左B开始交换B—D链时，就是逆时针方向的转型，转型后得到的是DCD型的构形；而从右B开始交换B—C链时，就是顺时针方向的转型，转型后得到的则是CDC型的构形等。若对BAB型的构形，从左B开始交换B—D链的逆时针方向转型，得到了DCD型的构形。这时如果改变方向对DCD型的构形进行顺时针方向转型时，交换的则是D—B链，交换后的构形仍是BAB型的，又反回到了原处。所以说，转型法在中途是不能改变转型方向的，就得一个方向的转型到底。转型法虽不能移去两个同色，但可以使构形转型，这也就有可能为无环形链的H—构形的解决，提供出现转机的可能性。
在转型着色的过程中，我们发现，所进行过连续转型的无环形链的H—构形都是在有限的转型次数之后，就可以从围栏顶点中空出某一种颜色来给待着色顶点着上，使问题得到解决。但由于这种无环形链的H—构形也是有无穷多个的，是不可能做到把每一个无环形链的H—构形都进行连续的转型一次的。而且这种构形到底有多少种，也不可能知道，也就根本谈不上全部进行转型的问题了。所以说，想用连续转型着色的办法（即实践的方法）得到无环形链的H—构形是否都是可约的结论，根本就是不可能的事。但是，问题最终总还是要得到解决的。是否可以采取尝试采用逻辑推理的纯理论的办法进行解决呢？寻找其逆否命题是否为真，来说明无环形链的H—构形进行了有限次的连续转型后，可以使问题得到解决的结论的真假性。
这里我们已经用实际转型的方法得到了“对无环形链的H—构形转型时，都是可以在‘有限的’转型次数内解决问题”的原命题。根据逆否命题的条件就是原命题的结论的否定，以及逆否命题的结论又是原命题的条件的否定，可得到其逆否命题是：在使用了无穷多次转型也解决不了问题的构形，一定是一个不是无环形链的H—构形（即是有环链的H—构形）。这样的构形的却是实实在在的存在的。这就是1921年埃雷拉给出的E—图构形（如图21—1和图21—2。这两个图是同一个图的两种不同的画法），它是一个有A—B环形链的H—构型形。这个逆否命题是真实的。的确，E—图在转形时，的确是一个以20次转型为周期的无穷周期循环转型的构形，用转型法是永不能解决的。但因E—图又是一个有环形链的H—构形，所以用断链法解决时仍是可约的。

从埃雷拉E—图是一个无穷次转型也不能解决问题的构形看，原命题的逆否命题是真的。根据逆否命题与其原命题是同真同假的逻辑关系，可以得到凡是属于无环形链的H—构形，都一定会在“有限的”转型次数以内解决问题。
但对于转型的次数来说，只用“有限的”三个字来描述还是不够明确的，还必须要有一个具体的“上界值”。为什么？因为没有“上界值”的“有限”，实际上也就相当于是无限的，无穷的。
15、无任何环形链的H—构形连续转型的最大转型次数的上界值：
本节得到了无任何环形链的H—构形连续转型的最大转型次数的上界值是小于40次转型的结论。
（一） 任何5—星构形（包括E—图在内）转型时，即就是转型次数达到了5—星构形的“固有周期”（5—星构形的转型是以20次转型为一个周期的无穷转型）时，由于第二个周期（40次转型）还没有到来，所以还是不能判断其是否就是无穷周期循环转型的构形。而只有等到第二个循环周期即第40次转型来到时，才能确定。而我们这里所研究的无环形链的H—构形，在前面的证明中已经知道其一定是“有限次”转型的，第二个循环周期一定是不可能来到的。如果能到来，那就不再是“有限次”转型的构形了，而是一个周期性循环转型（周期循环转型也是无穷转型）的构形了。所以，连续转型就必须要在第二个循环周期即40次转型到来之前结束。这样，有限次的上界值就可以放心的确定为小于40次转型。即任何无环形链的H—构形在连续转型时，其转型次数一定是会在小于40次的转型之内，使问题就可以得到解决的。现在我们就可以理直气壮的说，无环形链的H—构形是可以用连续转型的方法在“有限的”转型次数内解决问题的。


在转型的过程中，构形随时还都有转化成有环形链的H—构形的可能性。也都是可以随时改变成用断链交换的方法进行解决的，可以提前结束转型。如把前面的图17—1（如图22—0）进行顺时针方向转型，连续两次转型（如图22—1和图22—2）后，就是一个可以连续的移去两个同色A的可约的K—构形。再对图22—2进行两次交换后才能移去两个同色A（如图22—3和图22—4），共进行了四次交换（其中有两次交换是转型交换）。


但在进行了一次转型后的图22—1又是一个CDC型的有A—B环形链的构形（如图22—5。图22—5与图22—1是同一个图），再进行一次从双环交叉链D—A和D—B的交叉顶点D（如图22—5和图22—6中的加大顶点）开始的D—C链断链交换后，就是一个没有任何连通链的可约的K—构形（如图22—6），再从图22—6中的A色围栏顶点（图中的加大顶点）进行A—D链（这是一条单色顶点的链，所谓交换实际上就是把图22—6中的A色改换成图22—7中的D色）的交换后，就可以空出颜色A给待着色顶点V着上（如图22—7）。总共进行了三次交换，其中只有一次转型交换。比连续转型的交换次数要少一次。
对于实际构形的转型次数，一般都是很少的。把图17—1进行逆时针方向连续转型，也是最多四次交换就可以解决问题（如图23）。第二次转型后，就是一个可以连续的移去两个同色A的可约的K—构形。看来，所指定的转型次数的“上界值”是小于40次，的确是有点大。虽然大了，但这个小于40次的确定却又是有根有据的，不是凭空想象得来的。是否还有转型次数可以达到40次以上的无环形链的H—构形，我们也是不需要知道的。因为我们这里已经证明了这类H—构形连续转型的最大次数是小于40次的，这就能够说明了是不可能存在连续转型次数可以达到40次以上的无环形链的H—构形了。


为了证明无环形链的H—构形连续转型的最大转型次数的上界值小于40次是正确的，笔者还与另一位未曾见过面的山西省的业余四色爱好者同行朋友张彧典先生，也都曾经构造出过转型次数高达20次以上（26次）的H—构形，其转型次数的确又没有达到40次，也没有到达第二个转型周期的来临。
如果那位研究四色问题的爱好者们有兴趣，可以对以下的图24的构形进行一下连续转型，看一看其转型次数是否是在既大于20但又小于40之间的（图24的转型，实际交换次数是25次，其中转型次数是24次，因为最后移去两个同色时，移去第一个同色时的交换实际上也可以说是属于转型交换）。

（二） 无环形链的H—构形转型时的最大转型次数的上界值还可以用下列方法来确定。
任何一个这种类型的H—构形转型时都可以向逆时针方向和顺时针方向两个方向转型的，而且每次转型都有可能的三种结果，一是得到一个可以移去两个同色的可约的K—构形，二是得到一个含有环形链的H—构型，三是仍得到一个不含有环形链的H—构形。前两种结果都可以使问题得到解决，而第三种结果也就只有再继续进行转型了。
任何一个无环形链的H—构形H0，如果从两个方向分别进行进行了n（n≤20）次转型和m（n≤20）次转型，就能得到上述前两种可解的结果Hn和Hm时，那么在Hn和Hm之间的n＋m＋1（1指一个初始构形H0）就只有在两头的n和m处的Hn和Hm两个构形是可解的构形，由于n＋m≤40，所以其余的n＋m＋1－2（≤40－1≤39）个构形都是“看似不可解的”H—构形（式中2是指n和m处两个可解的构形）。这39个看似不可解的H—构形中，任何一个构形分别转化成n和m处的两个可解的构形时，分别都是要经过n＋m－1＋1（≤40－1＋1≤40）次转型的，期中最大的是≤40次，这就是无环形链的H—构形最大转型次数的上界值。

这就从两个方面证明了无环形链的H—构形的连续转型的最大转型次数的上界值是小于40次的。
16、四色猜测被彻底证明是正确的：
现在，平面图不可避免的构形在各种情况下都是可约的了，四色猜测也就证明是正确的了。
       
雷  明
二○二二年九月二十日于长安

注：此文原名为《四色问题的彻底解决——四色猜测是正确的！》，并于二○二二年八月三十一日在《数学中国》网的《哥猜等难题与猜想》栏目中发表过，网址是：
http://www.mathchina.com/bbs/for ... &extra=page%3D1，本次修改后改名为《平面图不可避免构形的科学分类与四色猜测被彻底证明是正确的！》，于二○二二年十一月二十三日同时在《数学中国》网的《哥猜等难题与猜想》栏目中发表，网址是：http://www.mathchina.com/bbs/for ... &extra=page%3D1（一）和http://www.mathchina.com/bbs/for ... &extra=page%3D1（二）

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