关于循环小数的若干注记

elim

设 \(\small 1< m\in\mathbb{N}^+< n,\;\;\gcd(m,10)=1,\;k=\underset{n}{\min}\{n\in\mathbb{N}:m\mid (10^n-1)\}\)，
则 \(\small\displaystyle\frac{1}{m}=\frac{d}{10^k-1}=0.\overline{\underset{(k-p)\, 个\,0}{\underbrace{0\ldots 0}}d_1\ldots d_p}\) 是节长为i\(k\)的循环小数.
其中 \(\;\displaystyle d={\small\frac{10^k-1}{m}}=\sum_{i=1}^p d_i 10^{p-i},\small 0\le d_j \le 9\,(j> 0),\;d_1>0.\)
\(\small k\)的存在性由抽屉原则及\(\small m\)的取法给出. 由\(\small k\)的最小性,\(\small\dfrac{1}{m}\)没有更短的循环节.

未完....

elim

k=fk(m) 是使得 m| (10^k-1) 成立的最小 k.

\(\small\dfrac{1}{101}=0.\overline{0099},\;\;\dfrac{1}{103}=0.\overline{0097087378640776699029126213592233}\)

elim

二楼给出的算法速度快得惊人。王守恩可以试试。

王守恩

a(1)=0
a(2)=0
a(3)=1
a(4)=0
a(5)=0
a(6)=1
a(7)=6
a(8)=0
a(9)=1

{0, 0, 1, 0, 0, 1, 6, 0, 1, 0, 2, 1, 6, 6, 1, 0, 16, 1, 18, 0, 6, 2, 22, 1, 0, 6, 3, 6, 28,
1, 15, 0, 2, 16, 6, 1, 3, 18, 6, 0, 5, 6, 21,  2, 1, 22, 46, 1, 42, 0, 16, 6, 13, 3, 2,
6, 18, 28, 58, 1, 60, 15, 6, 0, 6, 2, 33, 16, 22, 6, 35, 1, 8, 3, 1, 18, 6, 6, 13, 0,
9, 5,  41, 6, 16, 21, 28, 2, 44, 1, 6, 22, 15, 46, 18, 1, 96, 42, 2, 0, 4, 16, 34}

Table[Length[RealDigits[1/n][[1, -1]]], {n, 103}]    A051626--2022年8月11日       

其中: a(101)=4, a103)=34,

elim

王守恩 发表于 2022-11-23 19:52
a(1)=0
a(2)=0
a(3)=1

根据一楼，m 大于 1 且没有因子2和5.

王守恩

elim 发表于 2022-11-24 14:26
根据一楼，m 大于 1 且没有因子2和5.

记 1/n 的最小循环节长度 k 为 a(n)=k,  1/n 不是循环小数的约定 a(n)=0,

elim

王守恩 发表于 2022-11-24 00:08
记 1/n 的最小循环节长度 k 为 a(n)=k,  1/n 不是循环小数的约定 a(n)=0,

可以。

王守恩

1楼: 在 (10^n - 1) 里找最短的循环节， A007138(A007138肯定都是素数) 就是这样想的：

最小基元因子为 10^n - 1。也是最小的素数 p，使得 1/p 具有周期 n 的重复十进制扩展。

大家的目的很明确：在相同的循环节里， 找最小的素数(肯定是素数)。

A051626只是把每个正整数的循环节展示出来，方便寻找。

这是一个比单纯的素数分解更要命的问题。

目前人类只给出了前352项，凭我们的能力，可以欣赏，千万别去参与。