太阳先生的素数公式被推翻了！

yangchuanju

太阳先生的素数公式被推翻了！
太阳先生近期连发多个博贴，一再宣称，他找到了一个有用的素数公式，
使用他的素数公式，很容易地找到亿位大素数。

“太阳素数公式”简述如下：
令含3个或3个以上素因子的梅森数的最小素因子为m；
令该梅森数的第2素因子为t；
将该梅森数的第3及第3以后的素因子合并成一个因子y；
将该梅森数的第2及第2以后的素因子合并成一个因子ty。
如果(t-1)/(m-1)和(y-1)/(m-1)都不是整数（用带分数表示），但(ty-1)/(m-1)是整数；
把带分数的分数部分单独分离出来，只要两既约真分数的分母是素数，则y因子就是素数；
否则真分数的分母是合数，则y因子就是合数；
附加条件是：两既约真分数的分母不能含素数5，且两个分子不能相等。

太阳先生给出的一个关键例子是2^499-1，它的两个既约真分数分别是2/7和3/7，分母是素数，分子不相等，
y因子应该是素数。是的，2^499-1是一个3素因子梅森数，第3因子是素数。
太阳先生断言，不存在反例。

是的，我抱着不会存在那样的“素数公式"，花费两个星期的时间，深入研究了梅森数分解、梅森数因子之间的关系，
试图找到太阳素数公式的反例，但一直未果；反而给太阳先生找到了一个正面例子2^1193-1，
它的两个既约真分数分别是1/17和8/17，2^1193-1的第3因子也是素数。

功夫不负有心人，今天荣幸地找到了“太阳素数公式”的真正反例，它的两个既约真分数分别是9/11和8/11,
符合太阳先生的所有规定，分母是素数，但y因子是合数，从而彻底推翻了太阳先生研究多日的“素数公式”。

太阳

9/11和8/11，请问p等于多少？验证一下

yangchuanju

先来两个引子。
2^1789-1<530>=
39359×254039×18926517977<11>×3278051851070015836353451777<28>×5623817932...59<491>
第5个491位的因子尚未分解到底，是一个复合因子；
M=39359,  T=254039,  (T-1)/P=22；
Y=3489135155…11<529>
TY=8863764057…29<534>
(T-1)/(M-1)= 6.45454545454545…=6+5/11
(Y-1)/(M-1)= 8865123114…45<524>——整数
(TY-1)/(M-1)= 2252087010…61.454545…——530位整数+5/11
2^1789-1是一个“不整除+整除=不整除”的梅森数，P=29的大姐姐。

2^8929-1<2688>=
196439×2555359872029449<16>×1115430961341245177793296572392840751<37>×1408344179...51<2632>
第4个2632位的因子尚未分解到底，是一个复合因子；
M=194639,  T=2555359872029449<16>,  (T-1)/P=22；
Y=1570910702…01<2668>
TY=4014242171…49<2663>
(T-1)/(M-1)= 13008480396——整数
(Y-1)/(M-1)= 7996979720…27.272727…——2662位整数+3/11
(TY-1)/(M-1)= 2043516107…23.272727——2678位整数+3/11
2^8929-1是一个“整除+不整除=不整除”的梅森数，P=4127的大姐姐——太阳先生的“大妮子”吆。

yangchuanju

然而8761不同了，与1789，8929虽然都是一母生，但长相大不一样——
妹妹1789左腿长右腿短，并且拖着一条大尾巴；
姐姐8929右腿长左腿短，也拖着一条大尾巴。
二妮子的长相也“不咋的”——两脚后根上都有一条“鞋带子”，长度还不一样，但屁股后面没有长尾巴。

二妮子(2^8761-1)虽然身材不太好，但猛一看还是挺美的——不整除+不整除=整除；
须知梅森家族中的T、Y、TY姊妹们中，尽管“3整除”的有一些，但绝大多数是“3不整除”的；像二妮子这样的则是——千里挑一！
（前10000个2^n-1之中仅有499、1193、8761这3个）
唯一不足的是：499、1193的三孩子都是素数，8761的三孩子是合数。

yangchuanju

2^8761-1<2638>=
192743×21086064775471<14>×27521653946472839<17>×252738375533197927<18>×978770943064293241<18>×741360813207419388145717037710039122529073<42>×1027451776...23<2526>
第7个2526位的因子尚未分解到底，是一个复合因子；
M=192743,  T=21086064775471<14>,  (T-1)/P=22；
Y=5185825052…67<2619>
TY=1093486429…57<2633>
(T-1)/(M-1)=109400466.8181…——9位整数+9/11
(Y-1)/(M-1)= 2690552683…45.7272…——2614位整数+8/11
(TY-1)/(M-1)= 5673316815…68——2627位整数
2^8929-1是一个“不整除+不整除=整除”的梅森数，两分数的分母都是素数11，分子不相等，符合“太阳素数公式”的所有条件，但y因子不是太阳先生希望的那样——想要个儿子老婆确生了个闺女！

yangchuanju

8761的另一个同类4153是一个3不整除的梅森数。

yangchuanju

2^6373-1是22家族的一位媳妇，本姓6；在娘家是一位大美女——尽管父母的基因都是“不”，但闺女确极为纯贞——“整除”。
嫁到婆家后改姓22，（以第2素因子为m，第1素因子合并到第3素因子中为t）变成一个三不整除的“丑老婆”。
在娘家，两个分数都是2/3，但太阳公公不承认她是499的好姊妹，理由是它们的分子相等；嫁到太阳家族后公公更不会看中这位丑媳妇了。

yangchuanju

按照太阳先生对梅森数的三个因子比的相除规定，共有5种类型：
3整除的不必多说——3个分数都是0；
3不整除的一般来说3个分数互不相等；
整除+不整除+（或=）不整除的2个分数一般是相等的——如p4127的2个分数都是1/3；
不整除+整除+（或=）不整除的2个分数一般也是相等的——如p29的2个分数都是1/4。

太阳先生重点研究的是2不整除+整除类型的，
不整除+不整除+（或=）整除的2个分数有的相等，有的不相等；
太阳先生对2个分数还做了特别规定：
分母不得只含有素数5，实际控制为分母不能只含有素数5和2，意图是将分数化成小数时不能是有限的；
2分数不得相等（在分母相同时分子不得相等）。
太阳做出如此特别规定，想的是通过2分数的分母的素合性判断梅森数的y因子的素合性，
——若分母是素数，则y因子是素数；否则若分母是合数，则y因子是合数。
实际上太阳的判断原则没有任何理论根据，故他的素数公式被推翻。