全体自然数平方倒数差

常量

我们知道，全体自然数平方倒数和1+1/22+1/32+1/42+......=π2/6是欧拉证明的，那么
1-1/32+1/52-1/72+......=？有谁研讨过吗？

常量

\(1-\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}-\frac{1}{7^2}+\frac{1}{9^2}-\frac{1}{11^2}+\cdots\cdots\)

Nicolas2050

这不是欧拉早就解决了的吗？井底之蛙？

常量

欧拉求出全体自然数的平方倒数和
\(1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}+\cdots=\frac{\pi^2}{6}\)
平方倒数差的情形。\(1-\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}-\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}+\cdots可以从平方倒数和推导，不予考虑，把偶数剔除，变成如下式子
\(1-\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}-\frac{1}{7^2}+\frac{1}{9^2}+\cdots
上式有没有得出结果？

常量

欧拉求出全体自然数的平方倒数和
\(1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}+\cdots=\frac{\pi^2}{6}\)
对于平方倒数差的情形，\(1-\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}-\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}-\cdots\)，可以从平方倒数和推导，我们不予考虑，把偶数剔除，变成如下式子
\(1-\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}-\frac{1}{7^2}+\frac{1}{9^2}-\frac{1}{11^2}+\cdots\)
上式有没有得出结果？

wilsony

全体自然数的平方倒数和欧拉是怎么求出来的，是用傅立叶级数求吗？

王守恩

常量 发表于 2022-11-28 00:05
\(1-\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}-\frac{1}{7^2}+\frac{1}{9^2}-\frac{1}{11^2}+\cdots\cdots\)

\(\displaystyle\sum_{k=0}^9\frac{\cos(k\pi)}{(2k+1)^2}\)

{1, 8/9, 209/225, 10016/11025, 91369/99225, 10956424/12006225, 1863641881/2029052025,
1854623872/2029052025, 538015351033/586396035225, 193637145687688/211688968716225}

\(\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\cos(k\pi)}{(2k+1)^2}\)

Catalan(卡塔兰常数)

常量

Catalan(卡塔兰常数)是狄利克雷β函数，约为:
0.915 965 594 177 219 015 054 603 514 932 384 110 774 …
目前还不知道G是有理数还是无理数。

天山草

在 mathematica 中，卡塔兰常数用 Catalan 表示。它的一百万位数值可用下面的指令在 30 秒内算出：
N[ Catalan ,1000000]，而 1000 位可瞬间给出：

王守恩

天山草 发表于 2022-11-30 10:15
在 mathematica 中，卡塔兰常数用 Catalan 表示。它的一百万位数值可用下面的指令在 30 秒内算出：
N[ Cat ...

1-1/32+1/52-1/72+......=？这答案出来怪怪的。