小光棍数

yangchuanju

小光棍数

最近Topcoder的XD遇到了一个难题，倘若一个数的三次方的后三位是111，他把这样的数称为小光棍数。
他已经知道了第一个小光棍数是471，471的三次方是104487111，现在他想知道第m（m<=10000000000）个小光棍数是多少？

这道题真的和编程没关系，完全是一道数学题吗！
同余方程an*x^n+a(n-1)*x^(n-1)+…+a1*x+a0≡0(mod m)的解一定是x≡x0(mod m)的形式。
依葫芦画瓢，这里方程为x^3≡111(mod 1000)，题目友情提示x模m的最小正剩余是471，所以通解一定是x≡471(mod 1000)的形式，
因此x0=471，x1=1471，x2=2471，x3=3471，…，xm=(m-1)471（这里表示前面的数字是m-1，后三位为471）。

经试算知，1000以内只有一个小光棍数，10000以内有10个小光棍数：
471,1471,2471，……9471；每1000个整数中有一个小光棍数；
10^10以内有10^7个1000，则10^10以内有10^7个小光棍数。

lusishun

471是小光棍数！好

lusishun

有没有更小的，末两位数是11的光棍数啊？
有没有末四位数的光棍数啊？
是否有末几位都是1的光棍数啊？
有意思

yangchuanju

在OEIS网站搜索，没有搜索到末尾5位数都是1的光棍数，确无意之中搜索到一个末尾1-10000位都是1的数字列表，只不过这些数字的3次方才在末尾有1-10000个数字1。

A153042
a(n)...a(1) = digital representation of n-digit number m, the cube of which, m^3, ends with n 1's.
a(n)至a(1)是n位数字m的数字表示，其立方体 m^3 以n个1结尾。
1, 7, 4, 8, 8, 2, 8, 6, 3, 7, 3, 6, 6, 1, 7, 8, 5, 8, 9, 7, 2, 8, 7, 7, 5, 3, 8, 3, 9, 8, 9, 8, 7, 2, 7, 1, 7, 1, 1, 6, 3, 2, 9, 2, 2, 2, 7, 7, 3, 7, 3, 0, 0, 3, 1, 8, 6, 7, 8, 4, 5, 6, 2, 5, 2, 2, 3, 0, 3, 8, 5, 9, 7, 9, 0, 3, 6, 3, 3, 8, 0, 8, 0, 0, 2, 5, 0, 1, 1, 2, 2, 6, 9, 1, 2, 2, 1, 1, 9, 1, 8, 8, 5, 7, 7，……

例：1^3= 1; 71^3 = 357911; 471^3 = 104487111; 8471^3 = 607860671111.
88471^3=692472942511111，……

yangchuanju

lusishun 发表于 2022-11-30 10:35
有没有更小的，末两位数是11的光棍数啊？
有没有末四位数的光棍数啊？
是否有末几位都是1的光棍数啊？

1000以内，末尾都是11的光棍数有
数字    立方数
71        357911
171        5000211
271        19902511
371        51064811
471        104487111
571        186169411
671        302111711
771        458314011
871        660776311
971        915498611

谢谢关注！

yangchuanju

71^n都是以1,11,111,1111结尾的数字，3次方2个1，13次方4个1，1513次方5个1，可以证明末尾1的个数可以是任意数。       
n        71^n
1        71
2        5041
3        357911
4        25411681
5        1804229351
6        128100283921
7        9095120158391
8        645753531245761
9        45848500718449031
10        3255243551009881201
11        231122292121701565271
12        16409682740640811134241
13        1165087474585497590531111
14        82721210695570328927708881
1513        …11111

yangchuanju

下列数字的3次方末尾分别含有1,2,3，……个1：               
末尾1个数        n        n^3
1        1        1
2        71        357911
3        471        104487111
4        8471        607860671111
5        88471        692472942511111
6        288471        24005263647111111
7        8288471        569407609691831111111
8        68288471        318450669682903211111111
9        368288471        49953321584048960111111111
10        7368288471        400036722913885923621111111111
11        37368288471        52180666343882322529311111111111
12        637368288471        258923432384877251054643111111111111
13        6637368288471        292406988619925010938375781111111111111
14        16637368288471        4605257209065238567083911011111111111111
15        716637368288471        368042820890750498187497271377111111111111111
16        8716637368288471        662288076355335397389032413699561111111111111111

yangchuanju

下列光棍们后部到跟着一个小三，只有一个女小三，能跟哪个呢？               
末尾1个数        n        n^3
0        7        343
1        17        4913
2        617        234885113
3        8617        639835421113
4        78617        485902800111113——这里多了一条光棍！
5        078617        485902800111113
6        3078617        29178770597001111113
7        33078617        36194454107539011111113
8        333078617        36952196456476959111111113
9        6333078617        254006387404303865361111111113
10        56333078617        178768278730269698768711111111113
11        256333078617        16842787160651731278382111111111113
12        7256333078617        382077644934918302886564851111111111113
13        87256333078617        664340721493860822887518410211111111111113
14        787256333078617        487919852437946608488003047057111111111111113
15        2787256333078617        21653631053215692716102618843191111111111111113
16        62787256333078617        247522405644233913795944541092727211111111111111113

前面还可以继续加数呢！第2,3,4,5,6行依次加在最前面即可：
7, 1, 6, 8, 7, 0, 3, 3, 3, 6, 5, 2, 7, 8, 7, 2, 6,
7, 1, 1, 0, 3, 3, 2, 4, 5, 6, 5, 3, 6, 5, 3, 3, 3,
7, 5, 2, 4, 7, 5, 0, 2, 9, 0, 6, 7, 0, 8, 8, 6, 6,
7, 0, 1, 2, 4, 5, 3, 2, 8, 6, 9, 7, 3, 1, 6, 6, 9,
5, 0, 1, 6, 4, 6, 8, 0, 3, 8, 5, 9, 6, 1, 3, 5, 3,
7, 9, 7, 2, 3, 6, 6, 9, 0, 0, 0, 5, 3, 7, 7, 2，……
上面共101个数值，为A309600给出的0-10000中的第0-100个数字。

yangchuanju

10-adic integer x——10进制整数x之尾数：
A225404 (x^3 = ...000003).
A225405 (x^3 = ...000007).
A225406 (x^3 = ...000009).
A153042 (x^3 = ...111111).
A309600 (x^3 = ...111113).
A309601 (x^3 = ...111117).
A309602 (x^3 = ...111119).
A309603 (x^3 = ...222221).
A225410 (x^3 = ...222223).
A309604 (x^3 = ...222227).
A309605 (x^3 = ...222229).
A309606 (x^3 = ...333331).
A225402 (x^3 = ...333333).
A309569 (x^3 = ...333337).
A309570 (x^3 = ...333339).
A309595 (x^3 = ...444441).
A309608 (x^3 = ...444443).
A309609 (x^3 = ...444447).
A309610 (x^3 = ...444449).
A309611 (x^3 = ...555551).
A309612 (x^3 = ...555553).
A309613 (x^3 = ...555557).
A309614 (x^3 = ...555559).
A309640 (x^3 = ...666661).
A309641 (x^3 = ...666663).
A225411 (x^3 = ...666667).
A309642 (x^3 = ...666669).
A309643 (x^3 = ...777771).
A309644 (x^3 = ...777773).
A225401 (x^3 = ...777777).
A309645 (x^3 = ...777779).
A309646 (x^3 = ...888881).
A309647 (x^3 = ...888883).
A309648 (x^3 = ...888887).
A225412 (x^3 = ...888889).
A225409 (x^3 = ...999991).
A225408 (x^3 = ...999993).
A225407 (x^3 = ...999997).

yangchuanju

整数的5次方中找不到末尾有连续2-5个1的幂数：                               
整数\次数        2        3         4         5
1        1        1        1        1
2        4        8        16        32
3        9        27        81        243
4        16        64        256        1024
5        25        125        625        3125
6        36        216        1296        7776
7        49        343        2401        16807
8        64        512        4096        32768
9        81        729        6561        59049
71        5041        357911         25411681         1804229351
471        221841        104487111         49213429281         23179525191351
8471        71757841        607860671111         5149187744981281        43618769387736431351
88471        7827117841        692472942511111         61263773696900501281        5420067322738484248831351