自然数及其集合的基本概念

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首先需要指出：“数学理论是描述与研究现实数量大小及其关系的科学”与“数学理论的建立不仅需要从实践出发，而且需要在继续实践中改善”的观点。然后提出笔者在论文第一节第五中叙述的定义2及其说明，接着叙述自然数集合的几个构造实例，说明自然数集合为“无限增大着的的个数有穷自然数集合的趋向性想象性非正集合，其元素个数为无限增大的自然数无穷数列的趋向性的发散于非正常实数+∞，这个非正常实数  在现行性教科书中使用广义极限叙述它，但在这一节，可以不用极限定义，只用趋向说明它，至于极限的定义放在第四节使用“非形式极限定义”进行说明。并根据+∞/+∞的不定式定值计算法，可知自然数集合的元素个数具有不确定性，不能提出康托尔无穷叙述与无穷基数，不能提出ZFC形式语言中的“无穷集合存在公理”。这样，就消除了连续统假设的大难题；也消除了使用“一一对应法则”得到无穷集合与其真子集元素个数相等的违反事实的悖论。在自然数集合无法构造完毕的事实下，偶数集合、素数集合都是无法构造完毕的，所以哥德巴赫猜想无有现实性，不需要去研究；可以用研究小于某些自然数A以下的所有偶数是两个素数和的问题代替哥德巴赫问题。
对于自然数集合，徐利治《论无限》（2018年大连理工大学出版社出版）中叙述了潜无限意义下自然数集合表达符号为 ，与实无限意义下自然数集合表达符号 ，提出了有限经过：“突变”（“质变”或“飞跃”）达到实无限的“实无限与潜无限都是合理的理念 ”，但实际上，他的“突变”（“质变”或“飞跃”）做不到，他无法解决布劳威尔（Brouwer）提出的反例，所以实无限观点不成立。关于“实无限与潜无限”的争论，二千多年前，芝诺几个悖论就是为了反对实无限提出的，亚里士多德反对实无限提出了潜无限。但十九世纪康托尔提出了“数学必须肯定实无穷”观点，近一百年来的无穷集合、实数理论、无穷级数都使用了实无限观点，有人提出等比无穷级数  的等式后说：现代的无穷级数理论解决了芝诺的“二分法悖论”，事实上，无穷级数和是其前n项和的无穷数列 的趋向性极限才是1，这个数列永远是分数，永远达不到其极限值1；这个等于1的等式是“违背事实的，完成了的整体的实无限观点”造成的。对这个观点必须批判；对这个观点下的《非标准分析》必须批判。