已知三角形的外接圆半径为 2 ，求三角形的面积的最大值

Bathan_Tam

已知三角形的外接圆半径为 2 ，求三角形的面积的最大值。

请教方法

liangchuxu

若三角形的外接圆半径为2,求三角形的面积的最大值.

luyuanhong

楼上 liangchuxu 的解答，已收藏。

我过去在《数学中国》发表过一个帖子，帖子中也证明了与楼上同样的结果：

圆内接三角形，当它是正三角形时，面积最大，最大值为 3√3R^2/4 （R 是外接圆半径）。

在本题中，外接圆半径 R=2 ，所以，圆内接三角形面积的最大值是  3√3×2^2/4=3√3 。

Nicolas2050

步骤1.

在锐角△abc中，设bc=a,ac=b,ab=c。作ch⊥ab垂足为点h

ch=a·sinb

ch=b·sina

∴a·sinb=b·sina

得到

a/sina=b/sinb

同理，在△abc中，

b/sinb=c/sinc

步骤2.

证明a/sina=b/sinb=c/sinc=2r：

如图，任意三角形abc,作abc的外接圆o.

作直径bd交⊙o于d.

连接da.

因为直径所对的圆周角是直角,所以∠dab=90度

因为同弧所对的圆周角相等,所以∠d等于∠c.

所以c/sinc＝c/sind=bd(直径)=2r

alize

luyuanhong 发表于 2022-12-5 00:23
楼上 liangchuxu 的解答，已收藏。

我过去在《数学中国》发表过一个帖子，帖子中也证明了与楼上同样的结 ...

特殊值找特殊位置